Спектри періодичних та неперіодичних сигналів. Спектр дискретного сигналу.

Періодичним сигналом (струмом або напругою) називають такий вид впливу, коли форма сигналу повторюється через деякий інтервал часу T, який називається періодом. Найпростішою формою періодичного сигналу є гармонійний сигнал або синусоїда, яка характеризується амплітудою, періодом і початковою фазою. Всі інші сигнали будуть негармонійними або несинусоїдальними. Можна показати, і практика це доводить, що, якщо вхідний сигнал джерела живлення є періодичним, то і всі інші струми і напруги в кожній гілці (вихідні сигнали) також будуть періодичними. При цьому форми сигналів в різних гілках будуть відрізнятися один від одного. Якщо функція u(t) задана в інтервалі і задовольняє умови Діріхле (неперервна, має кінцеве число точок розриву 1-ого роду і кінцеве число екстремальних точок), повторюється з періодом на протязі часу від до і якщо в якості базисних функцій вибрані експоненціальні функції, то її можна записати у вигляді:

, (1)

. (2)

Вираз (1) – ряд Фур’є в комплексній формі, а (2) – комплексний спектр періодичного сигналу u(t), спектр дискретний. Огинаюча комплексного спектру має вигляд:

. (3)

Комплексний спектр можна представить в вигляді:

, (4)

де - спектр амплітуд, - спектр фаз. Користуючись формулою Ейлера:

,

можна представить в вигляді дійсної і уявної частин:

. (5)

Спектр амплітуд - парна функція, спектр фаз - функція непарна.

При отримуємо постійну складову:

. (6)

Можна перейти від двохстороннього спектрального представлення до одностороннього (без від’ємних частот), об’єднуючи комплексні спряжені корені. Тоді отримаємо ряд Фур’є в тригонометричній формі:

, (7)

чи в вигляді

(8)

Огинаючу спектра амплітуд можна отримати, замінивши в на , де для -й гармоніки. Спектр неперіодичного сигналу безперервний, він містить всі частоти. Функція S являє собою спектральну щільність комплексної амплітуди. Спектр неперіодичного сигналу на відміну від періодичного є суцільним і являє собою суму нескінченного числа гармонійних складових з нескінченно малими амплітудами. Обмеження спектру неперіодичного сигналу смугою від нижньої частоти сон до верхньої граничної частоти верб неминуче призводить до спотворення форми сигналу, а отже, до втрати деякої частини інформації. Тому в кожному окремому випадку ширина спектру Асо повинна визначатися як з позиції передачі максимуму енергії, так і з позиції допустимих спотворень форми сигналу. Основною характеристикою неперіодичного, як і періодичного сигналу, є його спектральна функція, однак, структура спектру неперіодичного сигналу має деякі особливості. Відмінність інтеграла Фур'є від ряду Фур'є полягає в тому, що інтеграл представляє неперіодичних функцію сумою періодичних складових. Внаслідок цього спектр періодичного сигналу дискретний і складається лише з гармонік основної частоти; спектр неперіодичного сигналу безперервний і містить всі частоти від до . Неперіодичний же сигнал не можна уявити поруч гармонійних складових. Такий сигнал еквівалентний нескінченної сумі синусоїдальних складових, частоти яких йдуть безперервно від нуля до нескінченності, а амплітуди змінюються за законом, залежному від форми сигналу. Тому говорять, що спектр неперіодичного сигналу, до якого відносяться імпульсні перешкоди, неперервний. Розглянемо дискретний сигнал, представлений упорядкованим набором чисел {x(k)}, де k – ціле число в діапазоні 0–N–1. Нехай T_д – період дискретизації, ω_д=2π/T_д – кругова частота дискретизації. Для представлення дискретного сигналу в аналітичному виді зазвичай використовують формулу

, (1)

де δ(t) – дельта-функція. Розрахуємо спектр сигналу s(t)

(2)

Так як перетворення Фур’є являється лінійним оператором і x(k) являється константою (що означає, що x(k) можна винести за знак інтеграла) отримуємо

(3)

Функція спектральної густини дельта-функції рівна одиниці на всій області частот. Так як дельта-функція задержана на kT_д її спектр отримує додатковий множник exp(–jkT_дω) і вираз (3) можна перетворити наступним образом

(4)

Формула (4) показує, що спектр дискретного сигналу являється періодичною функцією з круговою частотою рівною періоду дискретизації T_д чи періодом 2π/T_д, тобто S(ω) = S(ω ± nω_д), де n – ціле число. Формула (4) дозволяє вирахувати функцію спектральної густини по відомим відлікам сигналу.