
- •Функции двух и трех переменных как функции точки
- •Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий уровня.
- •Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
- •Частные производные функции нескольких переменных, геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
- •Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
- •Условный экстремум функции двух переменных. Экономический смысл множителей Лангранжа.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •Некоторые дополнительные интегралы
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от некоторых функций, содержащих трехчлен.
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование иррациональных функций.
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •2) Случай второй
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •См. Конспект
- •См. Конспект
- •Определение определенного интеграла. Основные свойства.
- •Определение
- •Обозначения
- •Свойства
- •Геометрический смысл
- •Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.
- •Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
- •Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
- •Примеры вычисления площади криволинейного сектора.
- •Вычисление длины дуги плоской кривой.
- •Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
- •Объем тела вращения. Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Интегралы от неограниченных функций.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
- •Как решить однородное дифференциальное уравнение?
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Метод повторного интегрирования правой части
- •В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
- •В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая переменная
- •Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
- •Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
- •Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
- •Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая переменная
Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.
Пример 9
Найти
частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданным
начальным условиям
,
,
Решение: В
данном уравнении в явном виде не участвует
переменная
.
Подстановка здесь более замысловата.
Первую производную
заменим
некоторой пока
еще неизвестной
функцией
, которая
зависит от функции «игрек»:
.
Обратите внимание, что функция
–
это сложная
функция.
Внешняя функция – «зет», внутренняя
функция – «игрек» («игрек» сам по себе
является функцией).
Находим
вторую производную. По правилу
дифференцирования сложной функции:
Учитывая,
что
,
окончательно получаем:
В
принципе, можно запомнить данную замену
формально и коротко:
Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: , «совершенно же очевидно, что должно быть ». А вот, оно, и не очевидно. Почему , я только что подробно прокомментировал.
Итак,
в исходном уравнении
проведём
нашу замену:
Цель
замены – опять же понизить порядок
уравнения:
Одно
«зет» сразу сокращаем:
Получено уравнение
с разделяющимися переменными.
Если
–
функция, зависящая
от «игрек», то первая производная в
дифференциалах расписывается так:
. Не
допускаем машинальной ошибки – не пишем
«привычное»
!!!
Разделяем
переменные и интегрируем:
Проведем
обратную замену
:
Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.
Используем оба начальных условия одновременно: ,
В
полученное уравнение
подставим
и
:
Таким
образом:
Дальнейшее
просто:
Вторую
константу тоже отстреливаем. Используя
начальное условие
,
проводим подстановку
:
Таким
образом:
Выразим
частное решение в явном виде:
Ответ: частное
решение:
Кстати, ответ легко проверяется.
Для закрепления материала пара заключительных примеров.
Пример 10
Найти
частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданным
начальным условиям
,
,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:
Таким
образом, степень уравнения понижена до
первого порядка:
Разделяем
переменные и интегрируем, не забывая,
что
:
Переобозначим
константу
через
:
.
Проведём
обратную замену
:
Используем
одновременно оба начальных условия
,
и
найдём значение константы
.
Для этого в полученное
уравнение
подставим
и
:
Таким
образом:
Разделяем
переменные и интегрируем:
В
соответствии с начальным условием
:
Окончательно:
или
Ответ: частное решение:
Пример 11
Найти
решение задачи Коши.
,
,
Это пример для самостоятельного решения.
Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные, вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.
Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.
Пример
2: Решение: Преобразуем
уравнение:
Данное
ДУ имеет вид
.
Дважды интегрируем правую
часть:
Ответ: общее
решение:
Пример
4: Решение: Преобразуем
уравнение:
Данное
уравнение имеет вид
.
Трижды интегрируем правую часть:
В
соответствии с начальным условием:
В
соответствии с начальным условием:
В
соответствии с начальным
условием:
Ответ: частное
решение:
Пример
6: Решение: В
данное уравнение в явном виде не входит
функция
,
проведем замену:
Получено
линейное неоднородное уравнение первого
порядка. Используем метод
вариации произвольной постоянной.
Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем
переменные и интегрируем:
В
неоднородном уравнении проведем
замену:
Таким
образом:
Обратная
замена:
Ответ: Общее
решение:
Пример
8: Решение: Проведем
замену:
Получено
линейное неоднородное уравнение,
замена:
Составим
и решим систему:
Из
первого уравнения найдем
:
–
подставим во второе уравнение:
Таким
образом:
Обратная
замена:
Дважды
интегрируем правую часть:
Здесь
я немножко схалтурил, интеграл от
логарифма берётся
по частям,
и, строго говоря, последний интеграл
нужно расписать подробнее.
Ответ: общее
решение:
Пример
11: Решение: В
данном уравнении в явном виде не участвует
переменная
,
проведем замену:
Обратная
замена:
В
соответствии с начальными
условиями
,
:
В
соответствии с начальным
условием
:
Ответ: частное
решение: