
- •Функции двух и трех переменных как функции точки
- •Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий уровня.
- •Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
- •Частные производные функции нескольких переменных, геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
- •Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
- •Условный экстремум функции двух переменных. Экономический смысл множителей Лангранжа.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •Некоторые дополнительные интегралы
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от некоторых функций, содержащих трехчлен.
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование иррациональных функций.
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •2) Случай второй
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •См. Конспект
- •См. Конспект
- •Определение определенного интеграла. Основные свойства.
- •Определение
- •Обозначения
- •Свойства
- •Геометрический смысл
- •Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.
- •Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
- •Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
- •Примеры вычисления площади криволинейного сектора.
- •Вычисление длины дуги плоской кривой.
- •Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
- •Объем тела вращения. Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Интегралы от неограниченных функций.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
- •Как решить однородное дифференциальное уравнение?
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Метод повторного интегрирования правой части
- •В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
- •В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая переменная
- •Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
- •Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
- •Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
- •Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
Простейшее
уравнение данного типа в общем виде
выглядит так:
–
всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его
нет в
явном виде,
но он обязательно всплывёт в ходе
решения.
Кроме
того, вместе с «игреком» в явном виде
может отсутствовать первая производная:
–
это уже уравнение третьего порядка.
Может
дополнительно отсутствовать и вторая
производная:
–
уравнение четвертого порядка.
И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательноприсутствует независимая переменная «икс».
На самом деле есть общая формула, строгая формулировка, но я стараюсь избегать лишних параметров и прочих математических наворотов, поскольку уроки носят не теоретический, а практический характер. И даже общие формулы, которые я только что привел, являются не совсем полными с теоретической точки зрения.
Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.
Пример 5
Найти
общее решение дифференциального
уравнения
Решение: В
данном уравнении второго порядка в
явном виде не участвует переменная
.
Заменим первую производную
новой
функцией
,
которая зависит от «икс»:
Если
,
то
Цель
проведённой замены очевидна – понизить
степень уравнения:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо говоря, отличие только в букве.
Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя способами:методом Бернулли (замены переменной) или методом вариации произвольной постоянной. Я выберу метод вариации произвольной постоянной, поскольку он маловато встречался в моих статьях.
Решим
вспомогательное уравнение:
Разделяем
переменные и интегрируем:
Общее
решение вспомогательного уравнения:
Варьируя
постоянную
,
в неоднородном уравнении
проведем
замену:
Пара
слагаемых в левой части сокращается,
значит, мы на верном пути:
Разделяем
переменные и интегрируем:
Таким
образом:
Итак,
функция
найдена.
Тут на радостях можно забыть про одну
вещь и машинально записать ответ.
Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в
начале задания была выполнена замена
,
следовательно, нужно провести обратную
замену
:
Общее
решение восстанавливаем интегрированием:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: Общее
решение:
В
большинстве случае проверить и такие
уравнения не составляет особого труда.
Берём полученный ответ, находим первую
и вторую производные:
Подставим
первую и вторую производную в исходное
уравнение
:
Получено
верное равенство, значит, общее решение
найдено правильно.
Пример 6
Решить
дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены мы понижали степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены может получиться уравнение с разделяющимися переменными,однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.
Пример 7
Решить
дифференциальное уравнение
Решение: В
данном уравнении третьего порядка в
явном виде не участвуют функция
и
первая производная
.
Замена будет очень похожей, за «зет»
обозначаем младшего брата:
Если
,
то
Таким
образом, уравнение понижено до первого
порядка:
Получено уравнение
с разделяющимися переменными,
разделяем переменные и интегрируем:
Проведем
обратную замену:
Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид: .
Дважды
интегрируем правую часть:
Ответ: общее
решение:
Пример 8
Найти
общее решение дифференциального
уравнения
Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое в моём образце решено методом Бернулли. Как говорится, весь арсенал в ходу.