
- •Функции двух и трех переменных как функции точки
- •Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий уровня.
- •Предел функции. Непрерывность в точке и в области.
- •Частные производные функции нескольких переменных, геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
- •Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.
- •Условный экстремум функции двух переменных. Экономический смысл множителей Лангранжа.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •Некоторые дополнительные интегралы
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от некоторых функций, содержащих трехчлен.
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование иррациональных функций.
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •2) Случай второй
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •См. Конспект
- •См. Конспект
- •Определение определенного интеграла. Основные свойства.
- •Определение
- •Обозначения
- •Свойства
- •Геометрический смысл
- •Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.
- •Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.
- •Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
- •Примеры вычисления площади криволинейного сектора.
- •Вычисление длины дуги плоской кривой.
- •Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
- •Объем тела вращения. Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Интегралы от неограниченных функций.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Дифференциальные уравнения с однородными функциями.
- •Как решить однородное дифференциальное уравнение?
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Метод повторного интегрирования правой части
- •В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
- •В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая переменная
- •Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.
- •Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
- •Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
- •Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Иногда
такие несобственные интегралы
называют несобственными
интегралами второго рода.
Несобственные интегралы второго рода
коварно «шифруются» под обычный
определенный интеграл и выглядят точно
так же:
.
Но, в отличие от определенного интеграла,
подынтегральная функция
терпит бесконечный
разрыв (не
существует): 1) в точке
,
2) или в точке
,
3) или в обеих точках сразу, 4) или даже
на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим
первые два случая, для случаев 3-4 в конце
статьи есть ссылка на дополнительный
урок.
Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу
пример, чтобы было понятно:
.
Вроде бы это определенный интеграл. Но
на самом деле – это несобственный
интеграл второго рода, если мы подставим
в подынтегральную функцию значение
нижнего предела
,
то знаменатель у нас обращается в ноль,
то есть подынтегральной функции просто
не существует в этой точке!
Вообще
при анализе несобственного интеграла всегда
нужно подставлять в подынтегральную
функцию оба предела интегрирования.
В этой связи проверим и верхний предел:
.
Здесь всё хорошо.
Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:
Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода. Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конченому числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).
Осталось
только модифицировать формулу
Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется
с помощью предела, но предел стремится
уже не к бесконечности, а к
значению
справа.Легко
проследить по чертежу: по оси
мы
должны бесконечно близко приблизиться
к точке
разрыва справа.
Посмотрим, как это реализуется на практике.
Пример 6
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная
функция терпит бесконечный
разрыв в
точке
(не
забываем устно или на черновике проверить,
всё ли нормально с верхним пределом!)
Сначала
вычислим неопределенный интеграл:
Замена:
У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.
Вычислим несобственный интеграл:
(1)
Что здесь нового? По технике решения
практически ничего. Единственное, что
поменялось, это запись под значком
предела:
.
Добавка
обозначает,
что мы стремимся к значению
справа
(что логично – см. график). Такой предел
в теории пределов называютодносторонним
пределом. В
данном случае у нас правосторонний
предел.
(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.
(3)
Разбираемся с
при
.
Как определить, куда стремиться выражение?
Грубо говоря, в него нужно просто
подставить значение
,
подставляем три четверти и указываем,
что
.
Причесываем ответ.
В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Пример 7
Вычислить
несобственный интеграл или установить
его расходимость.
Пример 8
Вычислить
несобственный интеграл или установить
его расходимость.
Если
подынтегральной функции не существует
в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:
Здесь
всё абсолютно так же, за исключением
того, что предел у нас стремится к
значению
слева. По
оси
мы
должны бесконечно близко приблизиться
к точке
разрыва слева.
Пример 9
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная
функция терпит бесконечный
разрыв в
точке
(устно
проверяем, что с другим пределом
интегрирования всё нормально!).
Для разнообразия я решу этот интеграл сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.
Добавка
обозначает,
что предел у нас левосторонний,
и к точке
мы
приближаемся по оси
слева.
Разбираемся,
почему дробь
(это
лучше делать устно или на
черновике).
Подставляем под корень
предельное значение
:
и
тогда
Окончательно:
Несобственный интеграл расходится.
Знак
минус обозначает, что соответствующая
криволинейная трапеция расположена
под осью
. Будьте
очень внимательны в знаках. Да,
конечно, несобственный интеграл
расходится, но
и
–
это разные вещи, разные жанры, и если Вы
недосмотрите за знаками, то, строго
говоря, допустите серьезную ошибку.
И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:
Пример 10
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример 11
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения несобственных интегралов.
Пример
4: Решение:
Подынтегральная
функция непрерывна на
.
Пример
5: Решение:
Подынтегральная
функция непрерывна на
.
Несобственный
интеграл расходится.
Пример
7: Решение:
Подынтегральная
функция терпит бесконечный разрыв в
точке
Несобственный
интеграл расходится.
Примечание:
с пределом выражения
можно
разобраться следующим образом:
вместо
подставляем
:
Пример
8: Решение:
Подынтегральная
функция терпит бесконечный разрыв в
точке
Примечание:
Разбираемся в пределе выражения
.
Если
,
то
(см.
график логарифмической функции!),
тогда:
.
Именно эти соображения и помечаются
как
Пример
10: Решение:
Подынтегральная
функция терпит бесконечный разрыв в
точке
Пример
11: Решение:
Подынтегральная
функция терпит бесконечный разрыв в
точке
Несобственный
интеграл расходится
Примечание:
Разбираемся в пределе выражения
.
Если
,
то
,
и тогда
. Будьте
очень внимательны в знаках!