Примеры вычисления площади криволинейного сектора.

Разберемся с вычислением площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат, при решении примеров.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией   и лучами  .

Решение.

Функция   положительна и непрерывна на отрезке  . Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.

Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:

Когда заданы два луча  , ограничивающие фигуру, не приходится думать о пределах интегрирования при вычислении площади. Однако более распространены задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая  . Как же в этом случае применять формулу  ?

В таких примерах сначала следует решить неравенство  , откуда становятся видны пределы интегрирования.

Замечание.

Так мы поступаем, если считаем функцию   неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции.

Разберем на примерах.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах  .

Решение.

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство  :

Построим функцию в полярных координатах на отрезке   (при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

Применяем формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать   и   соответственно для любого целого значения k.

Осталось вычислить полученный определенный интеграл. Справиться с этой задачей нам поможет формула Ньютона-Лейбница. А первообразную для формулы Ньютона-Лейбница найдем, используя рекуррентную формулу вида  , где  .

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна  .

В полярной системе координат можно задать множество кривых, по форме напоминающих листья клевера или лепестки розы. Лепестки фигур, ограниченных такими кривыми, часто одинаковы. Поэтому, когда стоит задача вычислить площадь такой фигуры, находится площадь одного лепестка и умножается на их количество.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией  .

Решение.

Эта функция неотрицательна для любого   из области определения. Найдем область определения:

Таким образом, период функции   равен  , то есть, фигура будет состоять из трех равных областей. Построим ее.

Вычислим площадь одного лепестка, расположенного на интервале   (приk=1):

Таким образом, площадь всей фигуры будет равна утроенному значению, то есть, девяти.

Аналогично находятся площади схожих фигур, например, лемнискаты Бернулли.

30. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть известна функция   и требуется найти длину дуги, заданной функцией   , где   .

Для определения длины дуги   необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где   . В этом случае для определения длина дуги   вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах   где  . Тогда для определения длины дуги   вычисляется следующий определенный интеграл: