16. Интегралы от некоторых функций, содержащих трехчлен.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл  , содержащий квадратный трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой интеграл берут также методом подстановки, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат. Покажем это на примерах. Пример 12. Вычислить  . Решение. Преобразуем  , выделяя полный квадрат по формуле  . Тогда  ;   Пример 13. Вычислить  . Решение. Преобразуем  . Тогда  =   .

17. Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называется выражение вида  , где  , –многочлены степеней n и m соответственно.

Если  , рациональная дробь называется правильной, в противном случае  –неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например,  –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

–
–
–
–
		остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

где A, B, C, a, p, q–числа, 

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:

Дробь 2–го типа:

Дробь 3–го типа: =[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную: ;      ]= =[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]= 

Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.

Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30)

Пример.  .

Подынтегральная функция–правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, учитывая, что 

приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части:

приравняем числители дробей:

 

при   получим:

при   получим: 

приравняем коэффициенты при 

приравняем свободные члены:

Тогда 

Вычислим последний интеграл, введя новую переменную:     

 

Следовательно,