23) Определение кратного интеграла

Пусть   — измеримое^[1] множество n-мерного вещественного пространства,   — функция на B.

Разбиение   множества B — это набор попарно непересекающихся подмножеств  , такое что  .

Мелкость разбиения   — это наибольший диаметр множеств  .

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции f на множестве B называется число I (если оно существует), такое что, какой бы малой  -окрестностью числа I мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества B и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

 :   : 

Здесь   — мера множества  .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения   и множества точек   рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции   называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

В векторном виде:  ,Либо ставят значок интеграла d раз, записывают функцию и d дифференциалов:  .Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения   и   соответственно.В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.В случае n=1 кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.Свойства кратных интегралов.Линейность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, тогда .Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества   и   измеримы,   и  . Пусть также функция f(X)определена и интегрируема на каждом из множеств G₁ и G₂. Тогда интеграл по G существует и равен .Монотонность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, причем  . Тогда

.Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства. Интегральная теорема о среднем. Пусть G — компакт, функция f(X) непрерывна и интегрируема на G, тогда

Постоянная функция f(X)=c интегрируема на любом измеримом множестве G, причем .Как следствие,  .

Геометрический смысл двойного интеграла Пусть функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл  численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z=f(x,y).

24) Двойной интеграл [править]

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с d=2.

. Здесь   — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах:  , где dxdy — элемент площади в прямоугольных координатах.