Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Привести пример. Собственные числа и собственные векторы.

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X.

Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.

A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X.

Пусть A квадратная матрица. Число λ называется собственным значением матрицы A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A·x = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному значению λ.

A·x = λ·x, x ≠0.

Квадратичные формы.

Пусть числовая функция φ(x, y) — билинейная форма в пространстве L.

Числовая функция k(x) = φ(x, x) называется квадратичной формой в пространстве L.

Какова бы ни была квадратичная форма, существует единственная симметричная билинейная форма, из которой эта квадратичная форма может быть получена. Такая билинейная форма по отношению к квадратичной форме называется полярной билинейной формой. Полярная билинейная форма может быть вычислена по формуле :

Матрица квадратичной формы.

Пусть e₁, ..., e_n — базис в L. И пусть для вектора x из L задано разложение x = x₁·e₁+x₂·e₂+ ...+ x_n· e_n. Тогда для квадратичной формы k(x) справедливо представление

Здесь φ(e_i , e_j ) — значение полярной для k(x) билинейной формы φ(x , y).

Матрица A = {a_ij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей.

Примеры.

1. Пусть φ(x , y) = (x, y) для ∀x∈E, ∀y∈E билинейная форма в пространстве E. Здесь (x, y) − скалярное произведение в пространстве E. Тогда числовая функция k(x) = φ(x ,x) = (x, x) — квадратичная форма в пространстве E. Поскольку φ(x , y) = (x, y) — симметричная билинейная форма, то она является полярной билинейной формой для квадратичной формы k(x) = (x, x).

2. Пусть k(x) = x₁² + x₂²— квадратичная форма в пространстве R₂.

Пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) — базис в R₂. Вычислим матрицу A квадратичной формы.

Поскольку симметричная билинейная форма φ(x , y) = (x, y) — полярная для квадратичной формы k(x) = φ(x , x ) то матрица A квадратичной формы совпадает с матрицей Φ билинейной формы φ(x , y):

Проверим. Для этого подставим матрицу A в матричное представление квадратичной формы k(x)=x^T·A·x:

Матрица квадратичной формы вычислена верно.

Евклидовы пространства. Определение.

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Евклидовы пространства E и E' называются евклидово изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и если

x ∈E, y ∈E, x ←→ x' ∈E', y ←→ y' ∈E', то (x, y) = (x', y').