МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Реферат на тему

«Функциональный анализ»

Выполнил студент: Буторов Александр Андреевич

Группа: 220700.62-00-11оп

Проверил преподаватель: Кашинцева О.А.

2012/2013 уч. г.

Оглавление

Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа. 2

Линейные пространства. Аксиомы. Определение поля. 3

Операторы. Линейные операторы. Матрица оператора. Базис. 5

Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Привести пример. 7

Евклидовы пространства. 8

Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции. Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега. 9

Нормированные пространства. Норма. Примеры. 13

Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения. 16

Банаховы и гильбертовы пространства. 19

Функционалы. Функциональные пространства. 21

Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве. 23

Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа. Определение функционального анализа.

Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для функционального анализа характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие Функционального анализа происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что его язык наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Функционального анализа.

Предмет функционального анализа.

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

• Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.

• Геометрия Банаховых пространств.

• Некоммутативная геометрия. Разработанная Аленом Конном, частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.

• Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.

• Квантовый функциональный анализ Исследование пространств операторов, вместо пространств функций.

• Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей, и др. в рамках функционального анализа.

Примечание: На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.