
- •1.Случайные события и действия над ними.
- •2. Определение вероятности и ее свойства.
- •3. Элементы комбинаторики: правила умножения и сложения, размещение, перестановка, сочетание.
- •4.Условные вероятности.
- •5. Вероятности произведения и сумм событий.
- •6. Полная вероятность.
- •7. Формула Байеса
- •10. Случайные величины. Закон распределения случайной величины.
- •10. Случайные величины. Закон распределения случайной величины.
- •11В. Функция распределения и ее свойств
- •12В.Плотность распределения и ее свойства
- •13В.Числовые характеристики случайных величин (мат.Ожидание, дисперсия, мода, медиана)
- •14В.Биноминальный закон распределения дсв
- •15В.Распределение Пуассона дсв
- •16В. Геометрическое распределение дсв
- •17В. Равномерный закон распределения нсв
- •18В. Показательный (экспоненциальный) з.Р. Нсв
- •19В.Нормальный закон распределения (Гаусса) нсв
- •20В.Двумерная св и функция ее распределения
- •21. Плотность распределения двумерной с.В.
- •22.Зависимость и независимость двух случайных величин
- •23. Условные законы распределения двух с.В.
- •24.Цели и задачи математической статистики.
- •25. Основы выборочного метода
- •26. Вариационные и статистические ряды.
- •28.Числовые характеристики статистического распределения.
- •29. Оценка неизвестных параметров. Свойства статистических оценок.
- •30.Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.
- •31В.Методы нахождения точечных оценок. Метод моментов
- •32В. Методы нахождения точечных оценок. Метод наименьших квадратов
- •33В. Методы нахождения точечных оценок. Метод максимального правдоподобия
- •34В.Интервальное оценивание параметров
- •36В. Доверительный интервал для мат ожидания при неизвестной дисперсии
- •37В.Проверка стат. Гипотез о законе распределения
- •38В.Критерий Пирсона
- •39В.Дисперсионный однофакторный анализ
- •40В.Регрессионный анализ
12В.Плотность распределения и ее свойства
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю
P{X=α}=0 для любого α.
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от xдо x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:
P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).
Плотность вероятности на этом участке определяется отношением
(5.6)
Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.
Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a,b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
(5.7)
В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).
Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
(5.8)
В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).
Основные свойства плотности распределения:
Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.
Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.
2.
Условие нормировки:
Это
свойство следует из формулы (5.8), если
положить в ней x=∞.
Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:
вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
13В.Числовые характеристики случайных величин (мат.Ожидание, дисперсия, мода, медиана)
Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn
Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1 · Х2 · ... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · ... · М(Хn)
Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 + ... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + ... + x2npn - [M(X)]2
Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn)
Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)
Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.
Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
Относительно пределов интегрирования - то же самое.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)
Мода непрерывной случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду - находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).
Основные законы распределения случайных величин:
-биноминальный з.р. дсв 14вопрос
-распределение Пуассона дсв 15в
-геометрическое распределение дсв 16в
-равномерный з.р. нсв17в
-показательный (экспоненциальный) з.р. нсв 18в
-нормальный з.р. нсв(Гаусса) 19в