6. Полная вероятность.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле Р(А)=Р(В1)* Р(А/В1)+Р(В2)*Р(А/В2)+Р(Вн)*Р(А/Вн)

Пусть имеется группа В1, В2, Вн.. обладающая следующими свойствами: 1. Все события попарно несовместны 2. Их объединение образует пространство элементарных исходов. Q=В1ᶸВ2

Событие В1,В2,Вн образуют полную группу событий такие события называются гипотезами, поскольку заранее не известно какое из этих событий не наступит Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Пусть А некоторое событие котрое может произойти при наступлении одного и только одного из событий В1, В2, Вн..

7. Формула Байеса

Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло). Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие B_i. Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные - априорными вероятностями.

P(AB_i)=P(A)P(B_i/A)=P(B_i)P(A/B_i)

Откуда,

Таким образом, формула Байеса:

8. Независимые испытания. Формула Бернули.

Испытания (n - испытаний) называются независимыми, если неоднозначность исхода каждого из испытаний определена не связанными между собой группами факторов.

n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие , либо с вероятностью наступления P(A) = p;

P(A)+ Р( )=1 Если имеется большое количество испытаний и есть связь между р и q то называют схемой Бернули.

Р( , ,А)=(1-р)*(1-р)*р= *р

Пусть есть n независимых испытаний в которых событие А наступает m раз, то вероятность события А записывается

9.Предельные теории в схеме Бернули.

Если число испытаний неоuраниченно увелиивается то n→бесконечности, то вероятность события А в каждлм испытании (р→0) n*p=const=ʎ Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона:

Pn(m)= =Pm(ʎ) (Формула Пуасона ʎ=np

Локльная и интегральная теорема(Муавра-Лапласа) Если вероятность наступления событии постоянно Р-const отлично от 0 и 1, а число независимых испыьаний достаточно велико, то вероятность Рn(m)

Pn(m)= * X=

Если же при прежних условиях требуется найти вероятность того, что событие наступит не менее k1 и не более k2 раз, то используется интегральная формула Лапласа.

Функция Лапласа

10. Случайные величины. Закон распределения случайной величины.

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений. В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной. Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной . Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины. Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1. Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.