3. Элементы комбинаторики: правила умножения и сложения, размещение, перестановка, сочетание.

Комбинаторика-раздел математики, в которой изучаются задачи выбора элементов их множества и расположения их в группы по заданным правилам.

Перестановкой из н элементов называется упорядоченное н-элементное подмножество н-элементного множества. P(n)= n! n! - обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют "n-факториал" (в переводе с английского "factor" - "множитель").

Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. число размещений из n по m обозначается Anm и определяется по формуле Aиз n по m = n ⋅ (n −1)...(n − m +1).

Неупорядоченные выборки называются сочетаниями из n элементов по m и обозначаются Сnm. Число сочетаний определяется по формуле С из n по m = n!/(n − m)!/m!

Правило умножения (правило «и»). Согласно ему, если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару A и B можно выбрать n·m способами.

Правило сложения (правило «или»). Оно утверждает, что, если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.

4.Условные вероятности.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.Условной вероятностью Ра(В)= Р(В/А)(два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Два события называют независимыми, если вероятность одного их них не зависит от наступления или не наступления другого. Два события называют зависимыми если вероятность наступления одного из них зависит он наступления или не наступления другого.

5. Вероятности произведения и сумм событий.

Событие состоящее в том, что наступило хотя бы одно из событий А или В, или оба этих события называются суммой двух событий и обозначаются А+В, в том случае если Аи В являются событиями несовместными, то сумма АиВ это событие состоящее в появлении одного из этих событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий= сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р)А)+Р(В)

Теорема. Сумма вероятностей событий А1+А2+Ан образующих полную группу равны 1

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий = сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их одновременного наступления. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Теорема умножения вероятностей. Произведением двух событий АиВ называется событие А*В или АВ и состоящее в одновременном наступлении событий АиВ

Вероятность появдения одновременно двух независимых событий равна Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Вероятность появления хотя бы одного из событий независимыз в сововкупности равна разности между единицей и произведение вероятностей противоположных событий. Р(А)=1-q1*q2*qn

Вероятность появления двух зависимых событий= произведению вероятности 1-го из них на условную вероятность другого, рассчитанную при условии что 1-е событие уже произошло. Р(А*В)=Р(В)*Р(А/В)=Р(А)*Р(В/А)