31В.Методы нахождения точечных оценок. Метод моментов
Метод предложен К. Пирсоном в 1894 г.
Сущность метода:
выбирается столько эмпирических моментов, сколько требуется оценить неизвестных параметров распределения. Желательно применять моменты младших порядков, так как погрешности вычисления оценок резко возрастают с увеличением порядка момента; вычисленные по ЭД оценки моментов приравниваются к теоретическим моментам; параметры распределения определяются через моменты, и составляются уравнения, выражающие зависимость параметров от моментов, в результате получается система уравнений. Решение этой системы дает оценки параметров распределения генеральной совокупности.
32В. Методы нахождения точечных оценок. Метод наименьших квадратов
Метод
нахождения оценки
В этом методе нужно найти такое значение , которое минимизировало бы сумму.
F(
)=
Этот метод наиболее распространен, прост и не требует знания законов распределения.
Недостаток точечных оценок заключается в неопределенности точности оценки искомого параметра, т.е. неизвестна погрешность и надежность.
33В. Методы нахождения точечных оценок. Метод максимального правдоподобия
Метод предложен Р. Фишером в 1912 г. Метод основан на исследовании вероятности получения выборки наблюдений (x1, x2, …, xn).
Пусть х1,х2…хn и известен вид распределения f(х, ), где -неизвестный праметр. Требуется по выборке оценить параметр . В основе метода лежит понятие функции правдоподобия:
L (х1,х2…хn)=f1(х1, )f2(x2, )…fn(xn, )
Если х – дискретная величина, то фун-я правдоподобия:
L
(х1,х2…хn)=Р1(х1,
)Р2(x2,
)…Рn(xn,
)
=
Оценка максимального правдоподобия, т.е. = является решением уравнения:
Если
функция правдоподобия имеет сложный
вид проще брать
,
т.к. их максимум достигается при одной
и той же величине
.
Таким образом для нахождения оценки
максимального правдоподобия нужно:
1)
решить уравнение правдоподобия:
2) отобрать решения . = , =max
Если
оценке подлежат несколько параметров
,
то они определяются решением системы
уравнений правдоподобия.
Итак, нахождение оценок максимального правдоподобия включает следующие этапы: построение функции правдоподобия (ее натурального логарифма); дифференцирование функции по искомым параметрам и составление системы уравнений; решение системы уравнений для нахождения оценок; определение второй производной функции, проверку ее знака в точке оптимума первой производной и формирование выводов.
34В.Интервальное оценивание параметров
Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение параметра Т, получила название методов интервального оценивания. К их числу принадлежит метод Неймана.
Интервальное
оценивание параметра
называется
числовой интервал с заданной вероятностью
накрывает истинное значение
.
Оценка параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами.
Интервал
с вероятностью
накрывает истинное значение
,
называется доверительным интервалом,
а вероятность – надежностью оценки
или доверительной вероятностью.
Часто доверительный интервал выбирается симметрично точке оценки:
(
)
Р
(
)
– характеризует
точность оценки
- выбирается заранее (0,9; 0,95; 0,99; 0,999)
Наибольшее
отклонение
от оцениваемого параметра
в частности выборочной средней от
генеральной средней, заданной надежностью
гамма, называется предельной ошибкой
выборки.
Возникает из-за исследования не всей совокупности, а лишь выборки. Ее называют случайной ошибкой репрезентативности:
(
)
