20. Відношення еквівалентності

Відно́шення еквівале́нтності ( ) на множині   — це бінарне відношення для якого виконуються наступні умови:

Рефлексивність

Симетричність

Транзитивність

Запис вигляду « » читається як «  еквівалентно  ».

Класом еквівалентності   елемента   називається підмножина елементів, еквівалентних  . З зазначеного визначення випливає що, якщо  , то  .

Множина всіх класів еквівалентності позначається  .

Для класу еквівалентності елемента   використовується наступне позначення:  ,  ,  .

Множина класів еквівалентності по відношенню   є розбиттям множини.

Приклади відношень еквівалентності[ред.]

Найбільш наочний і всім знайомий приклад відношення еквівалентності — поділ учнів школи на класи.

Відношення рівності (« ») тривіальне відношення еквівалентності на довільній множині, зокрема на множині дійсних чисел.

Порівняння по модулю, («а ≡ b (mod n)»).

В Евклідовій геометрії

Відношення конгруентності (« »).

Відношення подібності (« »).

Відношення паралельності прямих (« »).

Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

Еквівалентність функцій в Математичному аналізі:

кажуть що функція   еквівалентна функції   при  , якщо вона може бути представлена у вигляді:  , де   при  . В даному випадку пишуть  , при  . Якщо   при  , еквівалентність функції   та   при  , очевидно, рівносильна відношенню  .

Ще один важливий, життєвий випадок: Коли лікар виписує ліки, в рецепті він записує класи еквівалентних ліків. Він не може вказати конкретний приклад абсолютно конкретний екземпляр упаковки таблеток або ампул. Таким чином, всі ліки розбиті на класи відношенням еквівалентності.

21. Відношення порядку

Відно́шення поря́дку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

 (транзитивність),

 (антисиметричність).

Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне

.

І навпаки, відношення строгого порядку є антирефлексивним

.

Відношення порядку називається повним (лінійним), якщо

 (повне відношення).

Повнота (лінійність) відношення порядку означає його рефлексивність, тому такий порядок завжди нестрогий.

Якщо умова повноти не виконується, і порядок є нестрогим, то відношення називають відношенням часткового порядку.

Зазвичай відношення строгого порядку (повного чи часткового) позначається знаком <, а відношення нестрогого порядку знаком  .

22. Поняття відповідності. Відповідність обернена даній.

Відповідністю між множинами A і B в теорії множин називається будь-яка підмножина C декартового добутку A×B. Якщо (a, b)∈C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C. Способи задання відповідності: відповідність між скінченими множинами наочно можна представити при допомозі графа;  перерахування пар; графік. Якщо на графі відповідності замінено напрямок стрілок на обернений, то одержимо граф нової відповідності «менше», яка розглядається між множинами X i Y і визначається множиною пар (4,5), (4,7), (6,7), (4,9), (6,9) . Це буде відповідністю оберненої даній. Позначається R-1. Відповідності R і R-1 називаються взаємооберненими.