17. Декартів добуток. Кортеж. Число елементів декартового добутку.

В теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить множині X, а друга — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X×Y:

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13×4=52) {(A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений)}.

Для операції декартового добутку не справджуються асоціативність та комутативність, тобто (A×B)×C≠A×(B×C), A×B≠B×A.

Справедливі такі тотожності:

(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)

(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)

A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)

A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C)

Корте́ж або n-ка — в математиці впорядкована та скінченна сукупність елементів (нескінченний кортеж має назву сімейства).

Кількість елементів в кортежі визначає його довжину. Так, кортеж з двох елементів (тобто довжини 2) називається двійкою, з трьох елементів - трійкою і т.д. Кортеж з n елементів називається n-кою.

Головною властивістю кортежа, яка відрізняє його від множини є те, що, по-перше, кортеж може містити декілька екземплярів одного об'єкта (в множині однакові об'єкти не розрізняються, і ця властивість також відрізняє кортеж від впорядкованої множини), та, по-друге, об'єкти в кортежі впорядковані. Це твердження формалізується таким чином:

(a1, a2, ...,an) = (b1, b2, ..., bn) ⇔ a1 = b1, a2 = b2 ... an = bn

Часто кортеж з n елементів визначається індуктивно через впорядковану пару, тобто n-ка (де n > 2) визначається яквпорядкована пара її першого елемента, та кортеж з n-1 її останніх елементів:

(a1, a2, ..., an) = (a1, (a2, ..., an))

Тобто:

0-кортеж (тобто порожній кортеж) визначається як ∅

якщо x є n-ка, то {{a}, {a, x}} є (n + 1)-ка.

Наприклад, для трійки (1,2,2) це призводить до наступного визначення:

(1,(2,(2,()))) = (1,(2, {{2}, {2, ∅}} )) = (1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}} ) = {{1}, {1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}}}}

18. Зображення декартового добутку двох числових множин на координатній площині

19. Поняття відношення. Властивості відношень. Способи задання відношень

Відношенням (n-місним відношенням) в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mn деякої множини M. Кажуть також, що елементи a1,a2,...,an∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a1,a2,...,an)∈R.

До відношень можна застосовувати теоретико-множинні операції і алгебру множин.

Поняття відношення є певним теоретико-множинним узагальненням відомого з елементарної арифметики набору таких відношень, як "=" (дорівнює) або "<" (менше). Поняття відношення і операцій з ними в практичних застосуваннях грає ключову роль в побудові реляційних моделей систем управління базами даних.

В математичній літературі часто не розрізняють поняття відношення та відповідності між множинами (тобто, в такому випадку, відношення можуть мати місце між різними множинами). В цій енциклопедії поняття відношення на множині та відношення між множинами (відповідності між множинами) розрізняються, якщо інше не вказано окремо.

Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при

заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне

відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у

відношенні R.

В математиці бінарне відношення R на множині X є рефлексивним, якщо для кожного a ∈ X виконується aRa, тобто

Властивість рефлексивності: матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи головної діагоналі рівні 1; граф — тим, що при кожен елемент має петлю — дугу (х, х).

Якщо ця умова не виконана ні для якого з елементів множини  , тоді відношення   називається антирефлексивним.

Якщо антирефлексивне відношення задано матрицею, то всі елементи її головної діагоналі дорівнюють нулю. Граф такого відношення характеризується тим, що не має жодної петлі — немає дуг вигляду (х, х).

Формально антирефлексивність відношення   визначається як:  .

Якщо умова рефлексивності виконана не для всіх елементів множини  , тоді кажуть, що відношення   нерефлексивне.

Приклади рефлексивних відношень [ред.]

 "дорівнює"

 "менше або дорівнює"

 "більше або дорівнює"

 "є підмножиною або дорівнює"

Приклади відношень, що не є рефлексивними [ред.]

 "не дорівнює"

 "менше"

 "більше"

 "є підмножиною"