2.Математичні поняття і математичні речення.Об‘єм і зміст поняття.

Об‘єм і зміст поняття.

У математиці розглядають різні об’єкти: числа, фігури, формули, рівняння – усе це математичні поняття. Будь – який математичний об‘єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямих кута, рівні діагоналі. Можна вказати і інші властивості квадрата. Серед властивостей об‘єкта розрізнюють властивості суттєві і несуттєві для його виділення з інших об‘єктів. Властивість вважають суттєвою для об‘єкта, якщо вона притаманна цьому об‘єкту і без нього він не може існувати. Несуттєвими властивостями вважають такі, відсутність яких не впливає на існування об‘єкта. Щоб розуміти, що представляє собою даний об‘єкт достатньо знати його суттєві властивості. В цьому випадку кажуть, що мають поняття про цей об‘єкт. Сукупність всіх взаємозв’язаних суттєвих властивостей об‘єкта називають змістом поняття про цей об‘єкт. Об‘єм поняття – це сукупність всіх об‘єктів, які позначені одним терміном. Таким чином, всяке поняття характеризується терміном, об‘ємом і змістом. Між об‘ємом поняття і його змістом існує зв‘язок: чим «більше» об‘єм поняття, тим «менше»його зміст, і навпаки. Наприклад, об‘єм поняття «прямокутний трикутник» «менше» об’єму поняття «трикутник», оскільки в об‘єм першого поняття входять не всі трикутники, а тільки прямокутні. Але зміст першого поняття «більше» змісту другого: прямокутний трикутник має не лише всі властивості трикутника, але і іншими, які притаманні тільки прямокутним трикутникам.

Об'єкти реальної дійсності володіють: а) єдиними властивостями, що виражають його відмітні властивості (наприклад, рівняння третього ступеня з однією змінною - кубічну рівняння), б) загальними властивостями, які можуть бути відмінними, якщо виражають суттєві властивості об'єкта (його ознаки), що виділяють його з безлічі інших об'єктів.

Термін "поняття" використовується для позначення уявної образу деякого класу об'єктів, процесів.

Характерними для форми мислення поняттями є: а) це продукт високоорганізованої матерії, б) відображає матеріальний світ, в) постає в пізнанні як засіб узагальнення; г) означає специфічно людську діяльність; д) його формування у свідомості невіддільне від його вираження за допомогою мови, записи або символу.

Математичне поняття відображає в нашому мисленні певні форми і відношення дійсності, абстраговані від реальних ситуацій. Їх формування відбувається за схемою:

Кожне поняття об'єднує безліч об'єктів або відносин, зване об'ємом поняття, а характеристичні властивості, притаманні всім елементам цієї множини і тільки їм, що виражають зміст поняття.

Наприклад, математичне поняття - чотирикутник. Його об'єм: квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, трапеція і т.д. Зміст: 4 сторони, 4 кута, 4 вершини (характеристичні властивості).

Зміст поняття жорстко визначає його обсяг і, навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Перехід від плотського ступеня до логічної відбувається за допомогою узагальнення: або через виділення загальних ознак об'єкта (паралелограм - чотирикутник - багатокутник); або через загальні ознаки в поєднанні з особливими або одиничними, яке призводить до конкретного поняття.

У процесі узагальнення обсяг розширюється, а зміст звужується. У процесі спеціалізації поняття обсяг звужується, я зміст розширюється.

Якщо обсяг одного поняття міститься в обсязі іншого поняття, то друге поняття називається родовим, по відношенню до першого; а перше називається видовим по відношенню до другого. Наприклад: паралелограм - ромб (рід) (Вид).

Процес з'ясування обсягу поняття називається класифікацією.

Математичні поняття і математичні речення

Способи визначення понять

Спочатку виділяють невизначені поняття, на підставі яких визначаються математичні поняття наступними способами:

1) через найближчий рід і видову відмінність: а) дескриптивное (з'ясовує процес, за допомогою якого визначення побудовано, або описує внутрішню будову в залежності від тих операцій, за допомогою яких дане визначення було побудовано з невизначених понять), б) конструктивне (або генетичне ), що вказує походження поняття.

Наприклад: а) прямокутник - це паралелограм, у якого всі кути прямі, б) колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола.

2) індуктивно. Наприклад, визначення арифметичної прогресії:

3) через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класів еквівалентних множин;

4) аксіоматичне (непряме визначення). Наприклад, визначення площі фігури в геометрії: для простих фігур площа - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості: а) рівні фігури мають рівні площі, б) якщо фігура розбивається на частини, які є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; в) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.

Явні і неявні визначення

Визначення поділяються на:

а) явні, в яких чітко виділені визначається і визначають поняття (наприклад, визначення через найближчий рід і видову відмінність);

б) неявні, які будуються за принципом заміни одного поняття іншим з ширшим обсягом і закінчення ланцюжка є невизначені поняття, тобто формально-логічне визначення (наприклад, квадрат - ромб з прямим кутом; ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами; паралелограм - чотирикутник, з попарно паралельними сторонами; чотирикутник - фігура, що складається з 4 кутів, 4 вершин, 4 сторін).

Основна вимога при побудова визначень: визначається безліч повинно бути підмножиною мінімального множини. Наприклад, порівняємо два визначення: (1) Квадрат є ромб з прямим кутом, (2) Квадрат є паралелограм з рівними сторонами і прямим кутом (надлишкове).

Будь-яке визначення є рішення задачі на "доказ існування". Наприклад, прямокутний трикутник є трикутник з прямим кутом; його існування - побудова.