60. Додавання і віднімання додатних раціональних чисел. Закони додавання.

Додавання Якщо додатні раціональні числа представити у вигляді дробів е(н) і п(н), то сумою чисел а і в називається число представлене дробом а+в = м+н!!н.

Якщо різними знаменниками представлені дроби, то їх зводять до спільного знаменника при додаванні.

Закони:

• Переставний і сполучний закон

Віднімання Різницею додатних раціональних чисел а і в називається таке додатне раціональне число с, яке дорівнює с=а-в.

61. Множення та ділення додатних раціональних чисел. Закони множення.

Множення Якщо додатні раціональні числа представлені дробами м!н і п!к, о добутком їх є число додатнє раціональне, що представляється дробом мр!пк.

Добуток існує і він єдиний.

Закони:

• Переставний, сполучний, розподільний відносно додав або віднім.

Ділення часткою додатних раціональних чисел називається таке число с, що а:в, а = вс, с=а:в, а=вс.

А=м!н, в=п!к, с=мк!нп.

За означенням частка а=в:с

Частка існує і вона єдина.

62. Впорядкованість множин додатних раціональних чисел.

63. 64 Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткового дробу. Нескінченні десяткові періодичні дроби.

Чисті періодичні дроби дріб, в якому період починається одразу після коми.

Мішані періодичні дроби – дроби, в яких між комою і періодом є десяткові знаки.

Для того щоб нескоротний дріб м!н представити десятковим дробом необхідно і достатньо щоб в розкладі його знаменника на прості множники входили тільки числа 2 і 5.

Якщо дріб нескоротний, то в розкладі знаменника є прості множники відмінні від 2 і 5, то дріб можна представити нескінченним періодичним дробом.

Будь-яке додатне раціональне число можна представити, або скінченним десятковим дробом, або нескінченним десятковим періодичним дробом.

Перетворення десяткового дробу в звичайний: якщо періодичний десятковий нескінченний чистий дріб перетворити у звичайний, то чисельник такого дробу буде дорівнювати періоду, а в знаменнику знаходиться стільки 9, скільки цифр у періоді.

65. Поняття про додатні ірраціональні числа

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину , де — множина дійсних чисел, а — множина раціональних чисел.

Властивості

Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.

Кожне ірраціональне число визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому класі немає найменшого раціонального числа.

Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.

Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).

Множина ірраціональних чисел — незліченна множина другої категорії.