
- •1.Математика як наука і навчальний предмет. Історія розвитку математики. Роль математичних знань, умінь і навичок.
- •2.Математичні поняття і математичні речення.Об‘єм і зміст поняття.
- •3.Означення та їх структура. Вимоги до означень.
- •4 .Висловлюванні форми. Висловлення із словами "всі", "деякі" (квантори).
- •6. Відношення слідування і рівносильності між реченнями. Необхідні та достатні умови.
- •7.Структура та види теорем.
- •8.Дедуктивні міркування. Найпростіші схеми дедуктивних міркувань.
- •9.Неповна індукція. Способи доведення істинності висловлень.
- •11. Відношення між множинами. Круги Ейлера
- •16. Поняття розбиття множин на класи
- •17. Декартів добуток. Кортеж. Число елементів декартового добутку.
- •18. Зображення декартового добутку двох числових множин на координатній площині
- •19. Поняття відношення. Властивості відношень. Способи задання відношень
- •20. Відношення еквівалентності
- •21. Відношення порядку
- •22. Поняття відповідності. Відповідність обернена даній.
- •23. Взаємнооднозначні відповідності. Рівнопотужні площини.
- •24. Натуральні числа та їх властивості. Число нуль. Множина цілих невід`ємних чисел. Порядкові і кількісні натуральні числа. Лічба.
- •25. Теоретико-множинний зміст кількісного натурального числа і нуля.
- •26. Додавання цілих невід`ємних чисел. Теорема про існування і єдність суми.
- •33. Ділення цілих невід'ємних чисел. Означення ділення через теоретико-множинний зміст та через добуток.
- •34. Теорема про існування частки та її єдність. Теорема про неможливість ділення на нуль.
- •3. Існування частки, її єдиність
- •35. Правила ділення суми та різниці на число.
- •1. Правило ділення суми на число.
- •38. Позиційна і непозиційна система числення. Запис чисел в десятковій системі числення. Запис чисел в різних позиційних системах числення, відмінних від десяткової.
- •39. Додавання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення. Алгоритм додавання багатоцифрових чисел.
- •40. Віднімання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення. Алгоритм віднімання багатоцифрових чисел.
- •41. Множення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення. Алгоритм множення багатоцифрових чисел.
- •42. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення. Алгоритм ділення багатоцифрових чисел.
- •43. Поняття текстової задачі. Способи розв’язування текстових задач.
- •47 Алгебраїчний спосіб
- •55. Нсд. Його властивості та способи знаходження.
- •56. Нск Його властивості та способи знаходження
- •57. Алгоритм Евкліда
- •58. Поняття дробу. Поняття додатного раціонального числа. Рівні дроби.
- •59. Основна властивість дробу. Зведення до спільного знаменника. Скорочення.
- •60. Додавання і віднімання додатних раціональних чисел. Закони додавання.
- •61. Множення та ділення додатних раціональних чисел. Закони множення.
- •62. Впорядкованість множин додатних раціональних чисел.
- •63. 64 Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткового дробу. Нескінченні десяткові періодичні дроби.
- •65. Поняття про додатні ірраціональні числа
- •66.Поняття величини.Однорідні величини та величини різного роду.Властивості однорідних величин.
- •67.Вимірювання величин.Скалярні і векторні величини.Властивості скалярних величин.
- •68. Довжина відрізка,її вимірювання та властивості.
- •69. Площа фігури,її вимірювання та властивості.
- •70. Рівновеликі фігури.Вимірювання площі за допомогою палетки.
- •71.Маса тіла,її вимірювання та властивості.
- •72.Проміжки часу.Їх вимірювання та властивості.
- •73.Об’єм тіла,його вимірювання та властивості.
- •74.Залежності між величинами.
- •75.Числові вирази і вирази із змінними.Область визначення виразу.
- •76.Числові рівності і нерівності,їх властивості.
- •77.Тотожність. Тотожні перетворення виразів.
- •78.Рівняння з однією змінною: означення, корінь рівняння, що значить розв’язати рівнянні.
- •79.Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильні рівняння.
- •80. Нерівність з однією змінною: означення, розв’язок нерівності, що означає розв’язати нерівність.
- •81. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильні нерівності.
- •82.Функція.Поняття функції. Область визначення функції. Область означення функції.
- •83. Графік функції. Зростаюча, спадна функція, приклад.
- •84. Лінійна функція, її графік, її властивості.
- •85.Прямо пропорційна функція, її графік і властивості.
- •86.Обернено пропорційна функція, її графік і властивості.
34. Теорема про існування частки та її єдність. Теорема про неможливість ділення на нуль.
3. Існування частки, її єдиність
Чи завжди існує частка натуральних чисел а і b? Відповідь на це запитання дає наступна теорема:
Теорема.
Для того, щоб існувала частка двох
натуральних чисел а
і b,
необхідно, щоб
.
Доведення.
Нехай частка натуральних чисел а
і b
існує, тобто існує таке натуральне число
с,
що
.
Для будь-якого натурального числа с
правильне твердження
.
Помножимо обидві частини цієї нерівності
на натуральне число b,
отримаємо
.
Оскільки
,
то
.
Теорему доведено.
Чому
дорівнює частка
і натурального числа b?
За означенням це таке число а,
яке задовольняє умові
.
Так як
,
то рівність
виконується, якщо
.
Отже,
,
якщо
.
Теорема. Якщо частка натуральних чисел існує, то вона єдина.
Доведення
(методом від супротивного). Припустимо,
що існують дві частки
і
,
тобто
і
.
Нехай, наприклад,
.
Проте це суперечить властивості
монотонності дії множення натуральних
чисел. Отже, наше припущення, що існують
два різних числа
і
,
які є частками від ділення а
на b,
неправильне. Теорему доведено.
Із
означення
випливає, що:
а)
частка від ділення натурального числа
а
на
1 дорівнює числу а,
тобто
;
б)
частка від ділення натурального числа
а
самого на себе дорівнює 1, тобто
.
Розглянемо можливі два випадки.
1.
Нехай
.
Припустимо,
що частка
існує. За означенням частки через добуток
,
,
тобто
(за означенням добутку). Проте це
суперечить умові про те, що
.
Отже, наше припущення, що частка існує,
неправильне. Тому ділення на 0 в цьому
випадку неможливе.
Нехай
.
Припустимо,
що частка
існує. За означенням частки через добуток
,
.
З цього випливає, що будь-яке число с
задовольняє
умову
,
тобто частка визначена не однозначно.
Це суперечить теоремі про єдиність
частки. Отже, наше припущення, що частка
існує, неправильне. Тому ділення на 0 і
в цьому випадку неможливе.
Висновок: Ділення на нуль – неможливе.
35. Правила ділення суми та різниці на число.
1. Правило ділення суми на число.
Щоб
поділити суму на число, досить поділити
на це число кожний доданок і добуті
результати додати:
.
Доведення. Якщо рівність правильна, то за означенням дії ділення має бути:
(за
розподільним законом множення);
(за
властивістю ділення як дії, оберненої
множенню).
Це правило можна поширити на будь-яке число доданків:
.
Правило ділення суми на число дуже важливе: воно є теоретичною основою алгоритму ділення багатоцифрових чисел.
У початкових класах його розкривають на конкретних задачах.
Задача. В одному сувої 12 м тканини, а в другому 15 м. з цієї тканини пошили плаття, витрачаючи на кожне по 3 м. Скільки платтів пошили?
Розв’язують задачу двома способами, дістаючи при цьому різні, але еквівалентні між собою числові формули розв’язку:
1-й спосіб 2-й спосіб
Висновок.
.
2. Правило ділення різниці на число.
Щоб
поділити різницю на число, досить
поділити на це число зменшуване і
від’ємник і від першого результату
відняти другий:
.
Пропонуємо довести це правило самостійно.
36. Правило ділення добутку на число. Правило ділення числа на добуток та множення числа на частку.
. Правило ділення добутку на число.
Щоб
поділити добуток на число, досить
поділити на це число один із множників
і результат помножити на другий множник:
.
Доведемо,
наприклад, що
.
Якщо ця рівність правильна, то за
означенням ділення
.
4. Правило ділення числа на добуток.
Щоб
поділити деяке число на добуток, досить
поділити це число на один із множників
і знайдену частку поділити на другий
множник:
.
На
цьому правилі ґрунтується послідовне
ділення при усних обчисленнях:
.
37. ділення з остачею
Ділення одного натурального числа на інше ціле не завжди виконується. Тому розглядають більш загальну дію — ділення з остачею.
Поділити
натуральне число
на натуральне число
з остачею —
означає
подати число
у вигляді
де
і
—
невід’ємні
цілі числа, причому
Число
при цьому називається неповною
часткою, а
число
—
остачею
від ділення
на
Наприклад, при діленні числа 27 на 6
неповна частка дорівнює 4, а остача
Щоб знайти ділене при діленні з остачею,
потрібно неповну частку помножити на
дільник і до здобутого добутку додати
остачу. Очевидно, що
тоді і тільки тоді, коли
є дільником
Ділення з остачею завжди виконується,
про що свідчить наведена далі теорема
(теорема про ділення з остачею).
Теорема. Для будь-яких натуральних чисел і існує єдина пара невід’ємних цілих чисел і , таких що
де