25. Теоретико-множинний зміст кількісного натурального числа і нуля.

Розглянемо яку–небудь скінчену множину А і відберемо в один клас всі рівно потужні їй множини.  Наприклад:  М - множина пальців лівої руки;  М - множина пальців правої руки;  М - множина вершин зірочки і т.д.  Ці множини рівно потужні їх можна об’єднати в один клас різнопотужних множин. В кожній із них по 5 елементів. Спільна (5 елементів) властивість всіх множин одного класу еквівалентності і є натуральними числами.  Таким чином з теоретико – множинних позицій кількісне натуральне число є кількісна характеристика класу скінченних рівно потужних множин. Кожному класу відповідає одне і тільки одне натуральне число, кожному натуральному числу – один клас рівно потужних скінченних множин.  Число нуль – це кількісна характеристика класу порожніх множин.  В початковому курсі математики кількісне натуральне число розглядається як спільна властивість класу скінчених різнопотужних множин. Тому, якщо учні визначають число «один» на сторінці підручника проводиться зображення одного предмета і т.д. 

26. Додавання цілих невід`ємних чисел. Теорема про існування і єдність суми.

Існування суми, її єдиність Теорема: «Сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і вона єдина». Доведення теореми випливає з теореми про існування і єдиність операції обєднання множин.

Іншими словами, які б не було взято два цілих невід’ємних числа а і b, завжди можна знайти їх суму – ціле невід’ємне число с, яке і буде єдиним для заданих чисел а і b.

Сума декількох доданків Нехай сума двох доданків визначена і визначена сума п доданків. Тоді сума, що складається з n+1 доданка, тобто сума а1 + а2 + … + ап + ап+1 дорівнює а1 + а2 + … + ап + ап+1, тому а1 + а2 + … + ап + ап+1 = а1 + а2 + … + ап + ап+1.

Додати число до суми або суму до числа можна двома способами: обчислити суму і до результату додати дане число або додати це число до одного з доданків, а до результату додати другий доданок.

Для того щоб додати суму до суми, можна до одного з доданків першої суми додати один із доданків другої, а до другого доданку першої суми – інший доданок другої суми і одержані результати додати. Ці правила легко поширити на будь-яку кількість доданків і об’єднати їх одним правилом: якщо при додаванні маємо дужки, то їх можна опустити і об’єднати між собою доданки в будь-якій послідовності так, щоб обчислення виконувати найзручнішим способом. Із законами дії додавання учні початкових класів знайомляться поступово: спочатку вивчають переставну властивість додавання 1 клас, яка використовується при складанні таблиць додавання одноцифрових чисел, а далі для розкриття прийомів додавання та раціоналізації обчислень. В 4 класі при узагальненні і систематизації знань про дію додавання закони – переставний і сполучний формулюються та записуються у буквеному вигляді.

33. Ділення цілих невід'ємних чисел. Означення ділення через теоретико-множинний зміст та через добуток.

Розглянемо задачі, які розв’язують учні початкової школи вже в 2 класі.

1. 10 яблук розклали на дві тарілки порівну. По скільки яблук буде в кожній тарілці?

2. Скільки треба тарілок, щоб розкласти на них 10 яблук по 2 яблука на кожну тарілку?

В обох задачах розглядається множина, що складається з десяти елементів, вона розбивається на еквівалентні підмножини, що попарно не перетинаються.

У першій задачі відома кількість цих підмножин, їх дві. Потрібно знайти кількість елементів в кожній підмножині. Задача розв’язується дією ділення:

(яблук)

і такі задачі називають «задачами на ділення на рівні частини».

У другій задачі відома кількість елементів в кожній підмножині. Потрібно знайти кількість цих підмножин. Задача розв’язується дією ділення:

(тарілок)

і такі задачі називають «задачами на ділення на вміщення».

З теоретико-множинної точки зору обидві задачі приводять до подання скінченної множини А у вигляді об’єднання еквівалентних між собою (без спільних елементів) її підмножин. Перехід до чисельної характеристики такої задачі приводить до розгляду дії ділення на множині цілих невід’ємних чисел.

Означення. Нехай і множина А розбита на еквівалентні множини без спільних елементів. Тоді, якщо b – число підмножин у розбитті множини А, то часткою чисел а і b називається число елементів кожної підмножини; якщо b – число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то часткою чисел а і b називається число підмножин у цьому розбитті.

Дія, за допомогою якої знаходиться частка , називається діленням. Числа при діленні називаються: а – ділене, b – дільник.

Зв’язок ділення з множенням

Перша задача зводиться до знаходження в однакових доданків, сума яких дорівнює а:

, або

Друга задача зводиться до знаходження числа доданків, кожен з яких дорівнює b і сума яких а:

, або

Як бачимо, в обох випадках задача зводиться до знаходження невідомого множника за відомим добутком і другим множником. Отже, ділення є дія, обернена до множення. Внаслідок її виконання знаходять частку чисел а і b.

Означення. Розділити ціле невід’ємне число а на натуральне число b означає знайти таке число с, що .

З цього означення випливає, що ділене дорівнює частці, помноженій на дільник: . З означення частки та дії ділення випливає рівність .