В4. Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

Рассмотрим линии, определяемые уровнем 2-го порядка относительно текущих координат.

+С Коэффициенты уравнений действительны, но А,В,С =0, такие линии называются кривыми второго порядка.

1. Окружность (простейшая кривая второго порядка)

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

(x - a)² + (y - b)² = r² , где r - радиус окружности, a и b - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид x² + y² = r².

2. Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

3. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух других данных точек этой плоскости называемых фокусами есть величина постоянная меньшая, чем расстояние между фокусами. Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках F1(-C;0) иF2(C;0) :

, где

2а- действительная ось, 2b – мнимая ось.

Прямая l называется асимптотой неограниченной кривой, если расстояние d от точки M кривой до прямой l стремится к нулю, при неограниченном удалении точки М к той прямой от начала координат. y=

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной полуоси гиперболы. Т.к. С>a, то >1

x= - директрисы.

4. Парабола

Параболой называется геометрическое множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

В выбранной системе координат, F( ;0), а уравнение директрисы х= - .

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы, p>0.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид: y^2=2pх, значит, парабола симметрична оси Ох. Ось Ох – ось симметрии параболы. Т.к. p>0, то из уравнения следует, что , т.е. парабола расположена справа от Оу.

Х=0, у=0 следовательно парабола проходит через начало координат, тчк (0;0) – вершина параболы. Отрезок FM – факальный радиус параболы.