В11. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Опред-е: Ненулевой вектор Х –наз-ся собственным вектором лин-го оператора Р, если найдется такое число , называемое собственным значением лин-го оператора такое, что вып-ся (х)= (х).

Это рав-во означает, что вектор х, подверг-й действиям лин-го оператора, умножается на число , т.е. появ-ся коллинеарный вектор.

Среди векторов лин-го век-го простр-ва могут сущ-ть такие, возд-е оператора на кот-ые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе.

Если на таких векторах построить базис, преобраз-я лин-ной алгебры знач-но упростятся.

! Не всякий лин-й оператор обладает собственными векторами, напр: в геом. плоскости R² оператор поворота на угол, не кратный π не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни 1 ненулевой вектор после поворота не ост-ся коллинеарным самому себе.

• Решим задачу нахождения собствен-х операторов вектора:

Запишем рав-во в матр-ной форме: РХ= Х. Преобразуем: РХ- .; (Р- *Е)Х=0-это матричное ур-е всегда имеет нулевое решение Х=0. Для сущ-ния не 0-х реш-й ранг м-цы коэф-в должен быть< числа переменных,т.е. число лин-но-независимых уравнений должно быть < числа переменных,т.е должно вып-ся условие: определитель м-цы Р- Е должен быть= 0: |Р- Е=0|.

Решая равенство,раскрыв скобки, получим ур-е n-ной степени, относ-но ,кот-е наз-ся характеристическим ур-нием оператора Р. (-1)ⁿ _n* ⁿ+ _n-1* ^n-1+ _n-2* ^n-2+…+ ₀=0.

Корни уравнения наз-ся харак-ми числами или собственными числами.

В12. Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема о независимости характеристического многочлена от выбора базиса.

Множество всех собственных чисел оператора Р, наз-ся спектром этого оператор, многочлен левой части уравнения, наз-ся характеристическим многочленом.Решив харак-е ур-е, получаем собственные числа ₁, ₂,… _n.

Для каждого собственного значения _i-го найдем не 0-е векторы ядра оператора Р- _iЕ именно они будут собственными векторами, соотв-ми собственному значению _i.

Др. словами необходимо решить однородную систему уравнений(Р- _iЕ)Х=0. Ее общее решение дает всю совок-ть собственных векторов, отвечающих _i.

Сущ-ние лин-но-независ-х векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам, _i –е орпед-ся след. теоремой:

Теорема( о незав-ти собсвтенных векторов): Собсвтенные векторы х₁,х₂, …х_n оператора, отвечающие различным собственным значениям ₁, ₂,… _n.-лин-но независимы. На лин-но –независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного простр-ва.

Теорема( о незав-ти характеристич-го многочлена от выбор базиса):

Определитель м-цы |Р- Е|(соотв-но характер-й многочлен(|Р- Е|)) не зависит от выбора базиса.

Док-во: |Р`- Е|= |T^-1РТ- * T^-1*ЕТ|=| T^-1(РТ- ЕТ)|=| T^-1(Р- Е)Т|=| T^-1|*|Р- Е |*|Т|=| Р- Е |.

Замечание: следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохр-ся.

В13. Линейная модель обмена.

В качестве примера математич-й модели экон-го процесса, приводящего к понятию собственного вектора и собственного значения мат. лин-го оператора.

• Рассмотрим модель междунар-й торговли:

Пусть имеется n- стран: S₁, S₂, …S_n. нац-й доход каждой = x₁, x₂,…x_n. Обозначим a_ij-доля нац-го дохода, кот. страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать,что весь нац-й доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из др. стран,т.е. _ij=1. (1).

Раасмотрим м-цу А= ||a_ij||, кот-я получила название структ-й м-цы торговли. В соотв-вии с (1). сумма элементов любого м-цы-столбца=1. Для любой страны S_i ; i=1, . Выручка от внешней и внутренней торговли составит: P_i=a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n. (2).

для сбалансир-й торговли необх-ма бездифиц-ть торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее нац - го дохода. P_i ≥ x_i.

Если считать, что P_i > x_i, то получим систему неравенств: (3).

Сложим все нерав-ва, после группировки, получим:

х₁(а₁₁+а₂₁+…+а_n1)+х₂(а₁₂+а₂₂+…+а_n2)+ …+ х_n(а_1n+а_2n+…+а_nn)> х₁₊ х_2+…+ х_n.

Учитывая рав-во (1), получим :

х₁₊ х_2+…+ х_n> х₁₊ х_2+…+ х_n (противоречие),т.о. нерав-во P_i ≥ x_i.- невозможно ,оно принимает вид P_i = x_i. (с экон-й точки зрения это понятно- все страны одновременно не могут получать прибыль).

Вводя вектор Х= (х₁₊ х_2+…+ х_n)^Т, национ-й доход стран, получим уравнение: Ах=х (4)., т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора м-цы А, отвечающ. собственному значению =1.