3.5. Канонические уравнения прямой

Прямая в пространстве определяется однозначно, если известна точка М₀ (х₀, y₀, z₀), через которую проходит эта прямая, и вектор (m, n, p), параллельный этой прямой. Такой вектор называют направляющим вектором прямой.

M₀

z

M

M₁

O

y

х

Рис. 3.2

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀ , параллельно вектору (рис.3.2). Пусть – произвольная точка, лежащая на прямой L, тогда вектор

= (x – x₀, y – y₀, z – z₀) коллинеарен вектору (m, n, p). Условием коллинеарности векторов является пропорциональность координат, поэтому получаем уравнения

,

(3.9)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Пример 3.3

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (1, –2, 3) параллельно вектору = (2, 0, –3).

Решение

Подставим координаты точки М₀ и координаты вектора в уравнение (3.9), получим

.

3.6. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая L проходит через две точки: М₁ (х₁, y₁, z₁) и М ₂ (х₂, y₂, z₂). В этом случае в качестве направляющего вектора можно взять вектор =(x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁), а в качестве точки М₀ - любую из точек М₁ или М ₂ . Возьмем, например, точку М₁ . Тогда в уравнение (3.6) вместо m, n, p подставляем соответственно числа x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁ , а вместо x₀, y₀, z₀ – числа x₂, y₂, z₂ . Таким образом, уравнения прямой, проходящей через две данные точки имеют вид

(3.10)

3.7. Параметрические уравнения прямой.

Уравнения (3.6) представляют собой равенства трех дробей. Обозначив каждую из этих дробей t, получим

, , 



(3.11)

Уравнения (3.11) называют параметрическими уравнениями прямой. В этих уравнения t – произвольное действительное число.

3.8. Угол между двумя прямыми

Угол  равен углу между направляющими векторами и прямых и определяется по формуле

(3.12)

Если прямые ортогональны, то ортогональны (взаимно перпендикулярны) и их направляющие векторы. В этом случае , , тогда из формулы (3.12) следует условие ортогональности двух прямых

.

(3.13)

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых это условие пропорциональности координат их направляющих векторов

.

(3.14)

3.9. Угол между прямой и плоскостью

Пусть – направляющий вектор прямой,

= (А, В, С) – нормальный вектор плоскости. Тогда

(3.15)

Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием ортогональности векторов и и записывается в виде

.

(3.16)

Условием ортогональности прямой и плоскости является с условие коллинеарности векторов и :

.

(3.17)