Приложения. Рассмотрим некоторые приложения смешанного произведения.

1. Условие компланарности векторов с учетом формулы (2.18) позволяет решить вопрос о компланарности трех векторов, заданных координатами.

2. Объем призмы, построенной на векторах , и , равен модулю смешанного произведения:

.

(2.19)

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , и , составляет объема призмы, поэтому:

.

(2.20)

Рис. 2.2

Пример 2.9

Компланарны ли векторы = (1; –2; –1), = (–3; 6; 3) и

= (2; 2; 1)?

Решение

Вычислим смешанное произведение

= 0, так как элементы второго и третьего столбцов пропорциональны. Таким образом, векторы компланарны.

Пример 2.10

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A(1;–2; 3), B(–2; 1; 3), C(–1; 3; 2) и D(–3; 1; 2).

Решение

V= ;

= (–3; 3; 0), = (–2; 5; –1); = (–4; 3; –1).

=15 + 12 – 9 – 6 =12, V=12/6 = 2(куб.ед.).

Пример 2.11

Даны координаты вершин пирамиды ;

; ; . Найти: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды .

Решение

1) находим векторы и : =

= ; = . Длины ребер и это длины найденных векторов ; .

2) Угол между ребрами и это угол между векторами и . Найдем по формуле (2.11):

.

Тогда .

3) Площадь грани это площадь , которая вычисляется по формуле (2.16). Найдем векторное произведение:

=

= .

Половина модуля этого вектора и есть искомая площадь (см.формулу 2.16). Поэтому .

4) Объем найдем по формуле (2.20).

. Вычислим смешанное произведение:

– .

По формуле (2.20) = (куб.ед.)

Глава 3

Плоскость и прямая в пространстве

3.1.Общее уравнение плоскости

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (х₀, y₀, z₀ ) перпендикулярно вектору (A, B, C). Вектор (A, B, C) называется нормальным вектором плоскости. Подчеркнем сразу, что числа A, B, C – координаты вектора . Уравнение плоскости составим исходя из условия, что плоскость это множество точек М(х, y, z), таких, что вектор перпендикулярен вектору = (x – x₀, y – y₀, z – z₀,) (рис.3.1).

Рис. 3.1

Если векторы ортогональны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

( ) = 0

(3.1)

Скалярное произведение равно сумме произведений координат векторов, поэтому равенство (3.1) запишем в координатной форме:

A (x – x0)+ B (y – y0)+С (z – z0) = 0

(3.2)

Уравнению (3.2) удовлетворяют координаты (x, y, z) точек пространства, которые принадлежат плоскости. Оно называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.

Пример 3.1

Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1,2, –1), перпендикулярно вектору =(2,–3, –2).

Решение

Подставим в уравнение (2) координаты заданной точки, получим

A (x – 1) + B (y – 2) + С (z +1) = 0. Теперь подставим координаты заданного вектора, тогда уравнение будет иметь вид 2(x – 1) –3(y – 2) – – 2 (z +1) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим окончательно искомое уравнение плоскости 2x –3y –2 z + 2 = 0.

В рассмотренном примере мы получили уравнение плоскости в виде

Ax + By + Сz + D = 0

(3.3)

Здесь переменные x, y и z – координаты произвольной точки плоскости, числа A, B, С – координаты вектора, нормального плоскости, а число D геометрически связано с расстоянием от плоскости до начала координат, в частности, при D = 0 плоскость (3.3) проходит через начало координат, т.е. точку с координатами (0, 0, 0). Уравнение (3.3) называется общим уравнением плоскости.

Замечание. Если изменять направление вектора , то уравнение (3.3) будет определять множество плоскостей, проходящих через точку М. Такое множество называется связкой плоскостей с центром М, а уравнение – уравнением связки плоскостей с центром М.