Пример 2.6
Вычислить работу, которую производит сила =(3; –5; –6) на отрезке пути AB, если A(1; –3; –2), B(3; –7; –1).
Решение
=
(2; – 4; 1); А =
= 32 + (–5)(–4)
+ (–6)1 = 20 (ед. работы).
2.6. Векторное произведение
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , для которого выполняются следующие условия:
1) вектор ортогонален и вектору и вектору ;
2)
|
|=
,
где – угол
между векторами
и
.
3) если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и , то для совмещения с вектором вектор поворачивается против часовой стрелки на меньший угол (рис. 2.1).
Для
векторного произведения используется
обозначение
.
Векторные
произведения координатных ортов
:
;
;
;
.
Свойства. Рассмотрим некоторые важные свойства векторного произведения:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
тогда и только тогда, когда векторы
и
коллинеарны.
Вычисление. Приведем без вывода формулу вычисления векторного произведения.
Если
векторы заданы координатами
и
,
то векторное произведение вычисляется
с помощью определителя
|
(2.14) |
.
Разложение определителя (2.14) по элементам первой строки дает
|
(2.15) |
.
Три
определителя второго порядка в правой
части равенства (2.15) представляют собой
координаты вектора
:
,
,
.
Приложения. Рассмотрим некоторые приложения векторного произведения
1.
Нахождение вектора
,
ортогонального векторам
и
:
,
где
0 – произвольный скаляр.
2. Вычисление площади треугольника S, построенного на векторах и ( ABC на рис. 2.1):
|
(2.16) |
.Отметим, что площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения. Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле (2.5).
По
этой формуле можно вычислить площадь
любого плоского многоугольника, разбив
его на треугольники. В частности площадь
Sпар. параллелограмма,
построенного на векторах
и
равна
|
|
(параллелограмм ABDC
на рис. 2.1).
3.
Вычисление момента
силы
,
приложенной в точке А, относительно
точки В:
.
Пример 2.7
Найти
вектор
,
который перпендикулярен и вектору и
вектору (
и
)
и имеет модуль равный 6 (
),
если
=(1;
0; 2),
=
(–1; 1; 0).
Решение
,
=
(
);
=
=
;
=(
)=(
),
=3||;
3||
= 6 ||
= 2 1
= 2; 2 =
–2. Таким образом, условиям задачи
удовлетворяют два вектора
= 2(
)
=
и
= –2(
)=
,
имеющие одинаковые длины и противоположные
направления.
Пример 2.8
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и из примера 2.7.
Решение
Sпар.
=|
|;
=
;
|
|=3;
Sпар.= 3
(кв.ед.).
2.7. Смешанное произведение векторов
Определение.
Смешанным произведением векторов
,
и
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на вектор
.
Обозначается
.
Таким образом, по определению,
|
(2.17) |
.
Свойства. Рассмотрим некоторые важные свойства смешанного произведения:
1. Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке сомножителей:
.
2. Смешанное произведение изменяет знак при перестановке двух сомножителей:
.
3.
тогда и только тогда, когда векторы
компланарны.
Вычисление. Если векторы заданы координатами, то смешанное произведение вычисляется с помощью определителя
|
(2.18) |
.
.