Пример 2.3
При
каких значениях
и
векторы
и
коллинеарны?
Решение
Из
коллинеарности векторов
и
следует
пропорциональность их координат
=
,
= – 6.
Сумма
и разность векторов
и
определяется по формулам
.
Сумма
векторов
и
,
начала которых совмещены, изображается
вектором с тем же началом, совпадающим
с диагональю параллелограмма, сторонами
которого являются векторы
и
.
Разность
этих векторов изображается вектором,
совпадающим со второй диагональю того
же параллелограмма, причем начало этого
вектора находится в конце вектора
,
а конец – в конце вектора
(см.
рис.1.2).
2.5. Скалярное произведение
Определение.
Скалярным произведением векторов
и
называется
число, равное произведение модулей этих
векторов на косинус угла между ними.
Обозначается скалярное произведение
так:
или
.
Таким образом, по определению,
|
(2.9) |
,где – угол между векторами и .
Свойства. Рассмотрим некоторые важные свойства скалярного произведения:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
=0
тогда и только тогда, когда сомножители
ортогональны (один из них может быть
нулевым вектором)
5.
.
6.
.
Свойства 1), 4), 5) следуют непосредственно из определения скалярного произведения.
Докажем
свойство 6. По определению,
.
Но
,
откуда
.
Совершенно аналогично доказывается,
что
.
Свойства
2) и 3) доказываются с помощью свойства
6) и свойств проекций. Действительно,
;
.
Величина
называется
скалярным квадратом вектора
и
обозначается символом
.
Из свойства 5) следует, что скалярный
квадрат вектора равен квадрату его
модуля
=
.
Вычисление. Выведем формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами.
Рассмотрим
базис
,
,
.
Скалярные произведения одноименных
векторов базиса равны единице:
=1,
так как это скалярные квадраты единичных
векторов. Скалярные произведения
различных векторов базиса равны нулю:
=
0, так как это скалярные произведения
ортогональных векторов.
Пусть
,
.
Используя свойства 2 и 3 скалярного
произведения, последовательно получаем
+
=
+
+
+
+
+
=
.
Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат
|
(2.10) |
.
В
частности,
,
поэтому, учитывая свойство 5) скалярного
произведения, получаем |
|=
(см. формулу (2.5).
Пример 2.1
Вычислить
,
если |
|=3,
|
|=
4,
.
Решение
=
=
=
+
–
=
9 +
–32
= –17.
Пример 2.2
Найти скалярное произведение векторов
и
.
Решение
По
формуле (2.10), получаем
=
(–1) 2 + 30
+ 21 = 0. Отметим, что
из равенства нулю скалярного произведения,
следует, что векторы
и
ортогональны.
Приложения. Рассмотрим некоторые приложения скалярного произведения
1. Вычисление угла между векторами и :
|
(2.11) |
Пример 2.3
Найти внутренний угол при вершине С в треугольнике АВС, если A(1;–2; 3), B(–2; –1; 1), C(–3; 4; 5).
Решение
Искомый
угол это угол между
векторами
=(4; –6;–2) и
=
(1; –5;–4); тогда
сos
=
= /6.
2. Вычисление проекции вектора на вектор :
|
(2.12) |
Пример 2.4
Найти проекцию вектора на вектор из примера 2.3.
Решение
.
3. Условие ортогональности векторов и :
|
(2.13) |
.
Пример 2.5
При
каком значении
вектор
ортогонален вектору
?
Решение
Запишем
условие ортогональности (2.13) для векторов
и
:
12 + (–)1
+ + 2(–3) = 0. Из этого
уравнения получаем значение
= – 4.
4. Вычисление работы
при прямолинейном перемещении точки
из положения М в положение N
под действием силы
.