5 Переміщення в розтягнутому стержні.Диференціальні рівняння переміщень

Р

Рисунок 2.7

озглянемо стержень навантажений розтягуючою силою . Виділимо два довільних поперечних переріза і на відстані один від одного (рис.2.7). Під навантаженням переріз переміститься в положення на відстань , а переріз - в на відстань . Отже, видовження ділян-ки дорівнює , а відносна поздовжня деформація

. (2.18)

Використовую­чи закон Гука (2.10) та врахувавши (2.5) зв’язок між силами і деформаціями запишемо у вигляді

.

(2.19)

Прирівнявши праві частини (2.18) і (2.19) отримаємо

.

(2.20)

Продиференціювавши (2.20) і враховуючи рівняння рівноваги (2.1) отримаємо

.

(2.21)

Інтегруючи рівняння (2.20), визначаємо переміщення довільного перерізу:

,

(2.22)

Сталі інтегрування на ділянках визначають із крайових умов (умов закріплення стержня) та умов спряження ділянок між собою (умов неперервності функції переміщення в перерізі при переході від однієї ділянки до іншої).

В рівнянні (2.22) сталу інтегрування знайдемо із крайової умови: при . Отже, –пере-міщення лівого торця стержня, тоді

.

(2.23)

Якщо на ділянці стержня , то

,

(2.24)

отже, на цій ділянці переміщення змінюються за лінійним законом, а деформації .

Якщо стержень навантажено поздовжніми навантаженнями так, що є кілька ділянок, то на кожній ділянці слід:

–при сталому напруженні використовувати рівняння (2.24);

–при змінному напруженні застосовувати рівняння (2.23).

6. Границя витривалості. Крива втоми

Найбільше напруження, яке матеріал може витримати, не руйнуючись, практично нескінченну кількість циклів напружень, називається границею витривалості. Границю витривалості позначають або , де індекс відповідає коефіцієнту асиметрії циклу ( , при симетричному циклі; , при від нульовому).

Границя витривалості залежить від виду деформації, фізико-механічних властивостей матеріалу, коефіцієнту асиметрії циклу та інших факторів. Її визначають експериментально, найчастіше в умовах симетричного циклу. Схему установки для визначення границі витривалості в умовах згину показано на рис. 11.3.

При проведенні випробувань використовують партію однакових зразків. Перший зразок навантажують до значного напруження , де - границя міцності матеріалу зразка. В цьому разі зразок зруйнується за порівняно невелику кількість обертів (циклів) . Навантаження на наступні зразки поступово знижують. Очевидно, що кожен з менш навантажених зразків буде витримувати дедалі більшу кількість циклів до руйнування . Обробивши отримані дані, будують криву втоми (криву Велера). Проведена до кривої втоми (рис. 11.4) горизонтальна асимптота відтинає на осі відрізок, що дорівнює границі витривалості .

Н

Рисунок 11.4

а основі великої кількості випробувань вста-новлені наближені залежності між границею витривалості при згині і границями витривалості при розтягу – стиску та крученні : ; .

Цикл змінних напружень (рис. 11.2,а) характеризується:

1. максимальним напруженням ,

2. мінімальним напруженням ,

3) середнім напруженням ,	(11.1)
4) амплітудою циклу ,	(11.2)
5) коефіцієнтом асиметрії циклу .	(11.3)
,		(11.4)
.		(11.5)

У випадку, якщо , а , то маємо симетричний цикл напружень (рис. 11.2,б). При цьому , , .

Цикл напружень, що показаний на рис. 11.2,в, називають віднульовим (пульсуючим). Для цього випадку

, , , , .