4. Розрахунок товстостінного циліндра

Я

Рисунок 14.3

кщо відношення товщини стінки циліндра до внутрішнього радіуса перевищує 1/10, то циліндр слід вважати товстостінним і розраховувати його на основі більш точної теорії. Така задача була вперше розв’язана французьким ученим Г.Ляме. Розглянемо циліндр з внутрішнім і зовнішнім радіусами, що перебуває під дією внутрішнього і зовнішнього тисків (рис. 14.3)

,

Розглянемо статичний аспект задачі. З умови рівноваги проекцій зусиль на радіус кільця знаходимо

звідки, після нехтування добутком малих величин,

.

14.9

Геометричний аспект задачі. Радіальне переміщення довільної точки кільця з абсцисою позначимо через , приріст цього переміщення за рахунок зміни координати на величину буде (рис. 14.5).

Тоді відносні лінійні деформації у радіальному і тангенціальному напрямках і виражаються через переміщення за формулами:

, .

14.10

Фізичний аспект задачі описується рівняннями закону Гука, які після підстановки в них значень відносних деформацій (14.10) розв’язуємо відносно напружень і

(14.11)

Підставляючи вирази для напружень (14.11) у рівняння статики (14.9), після перетворень приходимо до такого диференціального рівняння відносно невідомої

.

(14.12)

Розв’язок цього диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами (рівняння Ейлера) має вигляд

.

(14.13)

Підстановка виразу для у рівняння (14.11) приводить до таких виразів для напружень:

Із формул для і видно, що їх сума – величина стала, тобто

Тому і відносна лінійна деформація кільця у напрямку осі циліндра – величина стала

.

Якщо при наявності днищ у циліндрі виникає паралельна до його осі поздовжня сила , то в його поперечних перерізах виникають напруження

,

(14.17)

З погляду практичних розрахунків найбільш цікавим є випадок навантаження товстостінного циліндра лише внутрішнім тиском .

Тоді та і вирази для напружень (14.15) спрощуються

.	(14.19)

, ,

Е

Рисунок 14.6

пюри і для цього випадку показані на рис. 14.6. Напруження - розтягуючі, - стискуючі. Екстремальні значення цих напружень виникають на внутрішньому контурі циліндра, вони є найбільшим і найменшим головними напруженнями

де .

Якщо розтягуючих зусиль вздовж осі циліндра немає, тоді середнє головне напруження дорівнює нулю . Якщо такі зусилля є, тоді .

Перевірку міцності циліндра слід виконати за однією з теорій міцності залежно від властивостей матеріалу.

Припустимо, матеріал пластичний, тоді за третьою теорією міцності ,

або .

(14.20)

Якщо потрібно підібрати розміри циліндра, то, задаючись величиною одного з радіусів і відношенням , можна з формули (14.20) визначити необхідну величину другого радіуса циліндра.

З формули (14.20) видно, що навіть при відношенні (зовнішній радіус циліндра безмежно великий), ми не можемо допустити в циліндрі тиску більше ніж .

Отже, збільшення зовнішнього радіуса циліндра при великих товщинах його стінки дає незначний ефект щодо підвищення його міцності.