32. Узагальнений закон Гука
Використовуючи принцип незалежності дії сил (суперпозиції), об’ємний напружений стан, що заданий головними напруженнями представимо як суму трьох лінійних напружених станів , і (рис. 3.9).
Рисунок 3.9 |
Користуючись (2.10) і (2.17) запишемо вирази деформацій для всіх трьох випадків:
для
:
,
;
для
:
,
;
для
:
,
.
При одночасній дії трьох головних напружень повні відносні деформації
|
;
;
,або
|
(3.25) |
Отримані залежності (3.25) є аналітичним виразом узагальненого закону Гука для ізотропного тіла.
3.7 Зміна об’єму тіла при деформації
П
V0+V
означимо
розміри сторін елементарного паралелепіпеда
до деформації через
,
і
(рис. 3.10). Після деформації ці розміри
дорівнюють
,
,
.
Рисунок
3.10
Початковий
об’єм паралелепіпеда позначимо
,
а після деформації -
.
Знайдемо абсолютну зміну об’єму
паралелепіпеда:
|
Враховуючи, що відносні видовження в напрямку дії головних напружень
;
;
,
отримаємо
|
|
.В реальних конструкційних матеріалах відносні видовження зазвичай вимірюють тисячними чи десятитисячними долями. Тому їх добутками можна знехтувати
|
(3.26) |
.Відносна зміна об’єму (відносна об’ємна деформація)
|
(3.27) |
.Підставивши (3.25) в (3.27) отримаємо
|
(3.28) |
.Вираз (3.28) називають об’ємним законом Гука.
Бачимо, що зміна об’єму залежить лише від суми головних напружень, а не від їх співвідношення.
Розглянемо випадок
всестороннього гідростатичного розтягу
матеріалу, коли
.
Тоді за формулою (3.28) матимемо
|
(3.29) |
,
де
- модуль об’ємної деформації.
Аналізуючи (3.29)
бачимо, що коефіцієнт Пуассона
.
Для матеріалу з коефіцієнтом Пуассона
(парафін, гума) при рівномірному
всесторонньому розтягу об’єм не
зміниться.
33.
34. Теорії міцності
Теорією міцності називають припущення про рівноміцність різнотипних напружених станів.
З
Рисунок
3.11
Рис. 3.11
Лінійний напружений
стан, що вважають рівноміцним даному,
називають еквівалентним. Позначимо:
- головне напруження еквівалентного
напруженого стану (рис. 3.11).
Умова міцності при складному напруженому стані в загальному випадку записується у вигляді
|
(3.32) |
.На сьогодні ще не вдалося сформулювати універ-сальний критерій рівноміцності, здатний враховувати всю сукупність причин, які впливають на міцність. Тому використовують кілька теорій міцності, що взаємно доповнюють одна одну.
Перша теорія, або теорія найбільших нормальних напружень це гіпотеза про те що міцність матеріалу забезпечується, якщо найбільше нормальне напруження не перевищує допустимого, що встановлене для лінійного напруженого стану.
За цією теорією умова міцності має вигляд:
для пластичного матеріалу
,
якщо
;(3.33)
,
якщо
;для крихкого матеріалу
|
|
|
|
|
|
,
якщо
;
,
якщо
;
,
якщо
;
.Перша теорія міцності має задовільну збіжність з експериментальними даними лише для крихких матеріалів при умові, що абсолютна величина одного з головних напружень значно більша інших.
Нагадаємо, що при центральному розтягу-стиску розрахунок на міцність ми проводимо за найбільшими нормальними напруженнями, однак треба розуміти, що у цьому випадку в небезпечних точках виникає лінійний напружений стан і розрахунок за будь-якою теорією міцності дасть однаковий результат.
Друга теорія, або теорія найбільших лінійних деформацій це гіпотеза про те, що міцність матеріалу при складному напруженому стані буде забезпечена, якщо найбільша відносна лінійна деформація не перевищує допустимої, визначеної при лінійному напруженому стані.
За цією теорією умова міцності, наприклад, для пластичного матеріалу, має вигляд:
|
|
,
якщо,
,
то враховуючи (3.25) отримаємо
|
(3.34) |
.Друга теорія міцності має задовільну збіжність з експериментальними даними тільки при деяких напружених станах для крихких матеріалів, тому на практиці майже не застосовується.
Третя теорія, або теорія найбільших дотичних напружень це гіпотеза про те, що міцність матеріалу при складному напруженому стані буде забезпеченою, якщо найбільше дотичне напруження не перевищує допустимого, що визначене при лінійному напруженому стані.
Умова міцності за третьою теорією має вигляд
|
|
.
Найбільше дотичне
напруження при одновісному розтягу або
стиску рівне половині найбільшого
нормального напруження
,
отже
|
(3.35) |
.Третя теорія міцності має хорошу збіжність з дослідними даними для пластичних матеріалів.
Четверта, або енергетична теорія міцності це гіпотеза про те, що міцність матеріалу при складному напруженому стані буде забезпечена, якщо питома потенціальна енергія деформації не перевищує допустимого значення, що встановлене експериментально при лінійному напруженому стані.
Умова міцності за четвертою теорією має вигляд
,
враховуючи (2.35) і (3.31) отримаємо
|
(3.36) |
.
Експериментальні дослідження показують, що четверта теорія дає більш правдиві результати якщо враховувати лише потенціальну енергію формозміни і не враховувати енергію зміни об’єму. Для цього, аналізуючи залежність (3.29), приймемо , тоді вираз (3.36) набуде вигляду
|
|
,або
|
(3.37) |
.
Четверта теорія міцності має досить хорошу збіжність з експериментальними даними для пластичних матеріалів.
Зупинимося також на теорії міцності граничних напружених станів (теорія міцності Мора). Вона базується на логічній систематиці ряду експериментальних результатів.
Згідно цієї теорії за критерій міцності приймають величину
,
де коефіцієнт
.
Інакше кажучи, за теорією міцності Мора руйнування матеріалу при будь-якому складному напруженому стані настане тоді, коли величина перевищить допустиме напруження на розтяг, що визначене при лінійному напруженому стані.
Умова міцності за теорією Мора має вигляд
|
(3.39) |
.Теорію Мора застосовують при розрахунку конструкцій із крихких матеріалів. Вона має кращу збіжність з експериментальними даними, ніж перша і друга теорії міцності, особливо для напружених станів, при яких і .
Очевидно, що для
пластичних матеріалів (
)
і вираз (3.39) співпадає з (3.35).
Для дуже крихких
матеріалів, що практично не здатні
сприймати розтягуючі напруження можна
вважати, що
і формула (3.39) перетворюється в умову
міцності за першою теорією.