3.3 Головні площадки і головні напруження

Тензор, як математичне поняття, є узагальненням поняття про вектор. Тому існують певні аналогії у властивостях вектора і тензора. Тільки для вектора ці властивості наглядні, а для тензора потребують доведення.

Р

Рисунок 3.4

озглянемо на площині вектор (рис. 3.4). При повороті координатних осей компоненти вектора змінюються за певним законом. Коли напрямок однієї з осей (наприклад ) співпаде з напрямком вектора, то . Якщо розглядати і вісь , то . Такі осі , , назвемо головними. В цих осях проекція вектора на вісь має найбільше значення, а всі формули, що записуються через компоненти вектора , в цьому випадку виявляються найпростішими.

Тому цікавим є питання про можливість приведення тензора напружень до найбільш простого вигляду шляхом обертання навколо заданої точки площадок елементарного паралелепіпеда

.

Площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю називають головними. Нормальні напруження, що діють на головних площадках, називають головними напруженнями.

Припустимо, що в будь-якій точці напруженого тіла існує принаймні одна головна площадка. Нехай площадка з нормаллю (рис. 3.3,б) є головною. Тоді повне напруження (воно ж головне) спрямоване по нормалі , а його компоненти ; ; . Підставивши їх в систему (3.5) отримаємо

(3.8)

Система (3.8) матиме нетривіальні розв’язки, якщо визначник, складений із її коефіцієнтів, дорівнює нулю

.

(3.9)

Розкривши визначник отримуємо рівняння:

,

(3.10)

де

;
;
.

Коефіцієнти , , є дійсними числами і називаються першим, другим і третім інваріантами тензора напружень (вони не залежать від вибору системи координат). Відомо, що кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь. Цей корінь визначає величину головного напруження на головній площадці. Її існування ми раніше припустили.

Легко довести, що всі три корені рівняння (3.10) є дійсними. Їх прийнято позначати , , , причому індекси присвоюють так, щоб .

Якщо в результаті розв’язку рівняння (3.10) знайдено головні напруження , , , то, підставивши кожне із знайдених значень в будь-які два рівняння (3.8) і користуючись геометричним співвідношенням , можемо визначити направляючі косинуси відповідних головних площадок.

30. Плоский напружений стан

Розглянемо точку, що перебуває у плоскому напруженому стані рис. 3.5. Приймемо наступне правило знаків. Розтягуюче нормальне напруження вважатимемо додатнім, а стискаюче від’ємним. Дотичне напруження додатне, якщо його вектор намагається обертати елементарний паралелепіпед за годинниковою стрілкою відносно довільної точки, що знаходиться усередині паралелепіпеда.

Рисунок 3.5 Рисунок 3.6