Із формули головних осей маємо

J_Y0Z0=J_YZcos2₀-1/2 (Jz -J_Y)sin2₀=0,

Звідки

tg2₀=2J_YZ/(J_Z-J_Y) /9.35/

Якщо кут ₀ буде додатнім, то головні осі повертаються відносно початкових проти годинникової стрілки. При наявності осі симетрії фігури вона буде однією з головних осей.

Головними моментами інерції називаються моменти інерції відносно головних осей. Якщо початок координат головних осей у центрі ваги фігури, то моменти інерції відносно цих осей називатимуться головними центральними моментами інерції.

Головні моменти інерції можна визначити за формулами для повернутих осей

J_Y0 =J_Ycos²₀+J_Zsin²₀-J_ZYsin2₀

/9.36/

J_Z0=J_Ysin²₀+J_Zcos²₀+J_YZsin2₀

Перетворимо рівняння /9.36/ шляхом додавання й віднімання:

J_Y0+J_Z0=J_Z+J_Y

J_Y0-J_Z0=J_Y(cos²₀-sin²₀)-J_Z(cos²₀-sin²₀)-2J_YZsin2₀=

=(J_Y-J_Z)cos2₀-2J_YZsin2₀ /9.37/

З формули /9.35/ дістанемо:

2J_YZ=(J_Y-J_Z)tg2₀ /9.38/

Після підстановки /9.38/ у друге рівняння системи /9.37/ і розв’язання системи рівнянь отримаємо:

/9.39/

Якщо замінити то формули /9.39/ зводяться до вигляду

/9.40/

Формула /9.40 / використовується тоді, коли необхідно обчислити тільки значення головних моментів інерції.

26. Отже, універсальні рівняння для знаходження кутів поворотів та прогинів балки мають вигляд

;	(6.41)
.	(6.42)

Якщо на балку діють кілька типових навантажень , чи , то перед останніми трьома доданками в (6.41) і (6.42) слід поставити знаки суми.

Величини , і , називають відповідно статичними і геометричними початковими параметрами.

Значення , , приймають додатніми, якщо вони намагаються обернути ліву частину балки за годинниковою стрілкою відносно розгляданого перерізу.

П

Рисунок 6.19

ри прийнятому правилі знаків для , , і показаному на рис. 6.18 напрямку осей і , додатньому значенню відповідає прогин вгору, а додатньому значенню - поворот перерізу проти ходу годинникової стрілки.

Якщо розподілене навантаження обривається раніше того перерізу, де визначають чи , то його слід продовжити до розгляданого перерізу, одночасно додавши компенсуюче навантаження. Наприклад, для балки, що зображена на рис. 6.19 загальне рівняння прогинів має вигляд

Геометричні початкові параметри визначають із крайових умов (умов закріплення балки) (рис. 6.20):

• н

  

  Рисунок 6.20

  а початку координат балка жорстко закріплена (рис. 6.20,а) , ;

• на початку координат знаходиться шарнірна опора (рис. 6.20,б) , ;

• на початку координат знаходиться вільний торець балки (рис. 6.20,в) , .

27. Залежність між моментами інерції для паралельних осей має практичне значення і використовується при визначенні моментів інерції складних перерізів.

Рис. 120

Нехай осі Y_c та Z_c є центральними й осьові та відцентровий моменти інерції відомі /рис.120/:

Jy_c= , Jz_c = , /9.26/

Jy_cx_c =

Треба визначити моменти інерції відносно осей Y та Z , які проходять паралельно центральним. Ці моменти інерції виражаються інтегралами.

Jy= , Jz = , Jyz = /9.27/

Залежність між координатами має такий вигляд.

Y₁= Y +b Z₁=Z+ a

Значення Y₁ та Z₁ підставляємо до формули /9.27/. Наприклад

Jy = (Z+a)²dA =

Середній інтеграл дорівнює нулю, тому що це статичний момент площі відносно центральної осі.

Тоді з урахуванням /9.26/, дістанемо

Jy = Jy_c+a²A /9.28/

Аналогічно виводяться формули

Jz = Jz_c+b²A /9.29/

Jyz = Jy_c z_c+abA

Тобто осьовий момент інерції відносно осі, паралельної центральній, дорівнює моменту інерції відносно центральної осі плюс добуток площі на квадрат відстані міЖ осями. Відцентровий момент інерції відносно осей паралельних центральним дорівнює відцентровому моменту інерції відносно центральних осей плюс добуток площі на координати полюса паралельних осей.

Якщо моменти інерції відносно деяких осей, які проходять паралельно до центральних, відомі, то з формул /9.28/ та /9.29/ можна визначити моменти інерції відносно центральних осей:

Jy_c=Jy-a²A , Jz_c=Jz –b²A , Jy_cz_c =Jyz – abA /9.30/

Ці залежності часто використовуються в обчисленнях.

9.8. Розв'язуючи задачі. , виникає необхідність знаходити моменти інерції відносно осей, щo повернуті відносно початкових на деякий кут. Нехай відносно початкових осей Y та Z моменти інерції дорівнюють /рис.25/

Jy = ; Jz = ; Jyz = /9.31/

У

z

α

У₁

Z₁

У₁

О

С

Е

В

D

A

dA

у

Рис. 121

Відносно повернутих осей У₁ та Z₁на кут  моменти інерції виражаються інтегралами

Jy₁ = ; Jz₁ = ;Jy₁z₁ = . / 9.32/

Для встановлення залежності міх координатами добудуємо прямокутник АЕ СD , як зображено пунктиром на рис.121.

Тоді Y₁ = OC =OE +EC =y cos  +z sin  ,

Z₁= BC = DC- BD=z cos  - y sin 

Підставляємо значення Y₁ та Z₁ у формули

Jy₁=

+sin² +J_ysin² - J_yzsin2. / 9.33/

Аналогічно здобудемо залежності

J_Z1=J_Ysin²+J_Zcos²+J_YZsin2 /9.34/

J_Y1Z1=J_YZcos2-1/2 (J_Z-J_Y)sin2

Якщо скласти рівняння /9.33/ і перше рівняння /9.34/, дістанемо:

J_Y1+J_Z1=J_Y+J_Z=const

Тобто суми осьових моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей є величинами сталими.

Будемо вважати кут  додатнім, якщо осі повернуті проти годинникової стрілки.