22. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки
Зігнута вісь балки при прямому згині є плоскою кривою, що лежить в одній з головних площин балки. Її називають також пружною лінією балки.
Переміщення центру
ваги перерізу в напрямку, перпендикулярному
до осі балки, називають прогином балки
в даній точці (перерізі) -
.
Кут, на який переріз
балки повертається відносно свого
початкового положення, називають кутом
повороту перерізу -
.
При малих деформаціях горизонтальними складовими переміщень нехтують.
На рис. 6.15
та
- прогин та кут повороту перерізу в точці
.
Використовуючи геометричний зміст
першої похідної функції
можна записати
|
|
а при малих деформаціях
|
(6.30) |
,
.
Рисунок
6.15
Для визначення деформацій балки скористаємось виразом закону Гука при згині
|
(6.31) |
.
Тепер встановимо
зв’язок між кривиною
і прогином
,
розглянувши точки
і
,
що лежать на відстані
одна від одної (рис. 6.16). Дотична до лінії
прогинів в точці
утворює кут
з горизонталлю. В точці
відповідний кут дорівнює
,
причому
є кутом між нормалями
і
.
Виразимо довжину дуги через центральний
кут
|
|
,
звідси
|
|
,
враховуючи малість
деформацій
та вираз (6.30), одержимо
|
(6.32) |
.Прирівнюючи праві частини (6.31) і (6.32), одержимо наближене диференціальне рівняння зігнутої осі балки
|
(6.33) |
.
З
Рисунок
6.17
координат. Наприклад, для системи координат рис. 6.17 знаки для кривини
і згинного моменту
співпадають, тому перед правою частиною
рівняння знак плюс. Диференціюючи
рівняння (6.33) по
і враховуючи рівняння рівноваги (6.1) і
(6.2), одержимо
|
|
(6.34) |
|
|
|---|---|---|---|---|
|
(6.35) |
|||
;
.Прогин (x) можна знайти вирішуючи будь-яке з рівнянь (6.33)-(6.35) залежно від того, яка величина , чи задана і що видається більш зручним з математичної точки зору.
Наприклад, проінтегрувавши рівняння (6.33) один раз отримаємо рівняння кутів поворотів
|
(6.36) |
.Інтегруючи другий раз, отримуємо рівняння прогинів
|
(6.37) |
,де і - сталі інтегрування, що визначаються із крайових умов балки і граничних умов її ділянок.
Слід мати на увазі, що рівняння (6.33) можна використовувати лише у випадку малих переміщень. Точне диференціальне рівняння, що використовують при визначенні переміщень у дуже гнучких балках, має вигляд
|
(6.38) |
,де використано відомий з диференціального числення вираз для обчислення кривини лінії
|
|
.Рівняння (6.38) є нелійним, тому його інтегрування навіть у простих випадках навантаження балки є досить складною задачею.