19. Обмеження і принципи прийняті в опорі

матеріалів

Малість деформацій (принцип початкових розмірів)

Можливість використовувати тверді тіла як конструкційні матеріали базується на тому, що деформації цих тіл малі у порівнянні з їх розмірами. Тому обмежуються розглядом лише малих деформацій. Таке обмеження дозволяє:

• при складанні рівнянь рівноваги не враховувати зміни в розміщенні зовнішніх сил, які відбуваються в результаті деформації тіла;

• для матеріалів, що мають нелінійний закон деформування прийняти лінійний зв’язок між навантаженням і деформаціями.

Принцип суперпозиції

К

Рисунок 1.7

оли деформації у пружній системі малі та лінійно зв’язані із силами, до системи застосовний принцип суперпозиції (принцип незалежності дії сил), згідно з яким деформації і переміщення у пружній системі не залежать від порядку прикладання навантажень. Внаслідок цього результат дії кількох сил, прикладених до системи, можна одержати як суму результатів дії цих же сил, прикладених послі-довно та у довільному порядку (рис.1.7). Іншими словами – ефект впливу однієї сили не залежить від ефекту впливу інших сил.

Принцип Сен-Венана

Французьким вченим Сен-Венаном для спрощення розрахунків на міцність було сформульоване таке припущення: конкретний спосіб прикладання навантаження не впливає на деформації в точках, що достатньо віддалені від місця прикладання навантаження (рис.1.8). Дане припущення добре підтверджується експериментами (воно не обмежується малими деформаціями в пружних матеріалах). Наприклад, встановлення невеликого затискача на довгій товстостінній гумовій трубці спричинить помітні деформації лише поблизу від місця затискання.

Цей принцип дозволяє виконувати заміну однієї системи сил іншою – статично еквівалентною, що часто спрощує розрахунок.

Рисунок 1.8

20. Визначення нормальних напружень

Нехай балка перебуває у стані чистого згину (рис. 6.6,а).

Д

Рисунок 6.6

ля визначення нормальних напружень, що виникають у поперечних перерізах балки розглянемо три аспекти задачі.

С

а)

б)

татичний аспект. На рис.6.6,б зображено відрізану частину балки. Розглядаючи її рівновагу нагадаємо (див. п.1.6), що згинний момент є рівнодійною моментів елементарних нормальних сил :

.	(6.4)
Аналогічно ;	(6.5)
.	(6.6)

Геометричний аспект. Беручи до уваги геометричні гіпотези Бернуллі складемо рівняння переміщень. Виділимо елемент балки довжиною , що має вигляд до деформації – рис. 6.7,а і під час деформації – рис. 6.7,б. Оскільки верхні волокна балки вкорочуються, а нижні видовжуються то природньо, що між ними існує нейтральний шар –

Рисунок 6.7

волокна, довжина яких не змінюється. Припустимо, що нейтральний шар співпадає з віссю балки. Знайдемо відносне видовження довільного волокна ВВ, що розміщене на відстані у від нейтрального шару. Початкова довжина цього волокна дорівнює . Під час деформації - . Отже,

а)

б)

,

звідси

, (6.7)

тобто видовження волокон пропорційне їх відстані до нейтральної осі.

Фізичний аспект. Беручи до уваги фізичну гіпотезу про ненатискування волокон (див. п.1.8), зв’язок між лінійною деформацією довільного поздовжнього волокна і напруженням, що виникає в ньому опишемо законом Гука

.

(6.8)

Підставляючи (6.7) в (6.8), одержимо

.

(6.9)

Аналіз залежності (6.9) показує, що нормальні напруження в поперечному перерізі:

• по ширині перерізу розподілені рівномірно;

• по висоті перерізу змінюються за лінійним законом;

• при , тобто на осі , дорівнюють нулеві;

• найбільших значень досягають в точках найбільш віддалених від нейтральної осі.

Геометричне місце точок, в яких нормальні напруження у поперечному перерізі балки дорівнюють нулеві, називається нейтральною віссю поперечного перерізу.

Підставимо залежність (6.9) в рівняння (6.6), отримаємо . Оскільки , то статичний момент поперечного перерізу відносно осі z дорівнює нулю - , а це означає, що нейтральна вісь є центральною, тобто проходить через центр ваги перерізу, що ми раніше припустили.

Підставивши (6.9) в (6.5), отримаємо

. Оскільки , то відцентровий момент інерції перерізу , а це вказує на те, що осі повинні бути головними осями інерції.

Підставивши (6.9) в (6.4), отримаємо ,

або

,

(6.10)

де - осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі при згині.

Залежність (6.10), яку називають законом Гука при згині, виражає зв’язок між навантаженням і мірою деформації балки – кривиною нейтрального шару 1/.

Добуток називають жорсткістю поперечного перерізу балки при згині.

Підставивши (6.10) в (6.9), отримаємо

.

(6.11)

Максимальні нормальні напруження знаходять за формулою

,

(6.12)

де - осьовий момент опору перерізу відносно ней-

тральної осі.

На рис. 6.8 показано епюри напружень у випадку симетричного (рис. 6.8,а) та несиметричного (рис. 6.8,б) відносно нейтральної осі поперечного перерізу балки.

Н

Рисунок 6.8

а)

б)

еобхідно пам’ятати, що формула (6.11) виведена для випадку чистого згину. Однак при виконанні умови

,

де - довжина балки (в багатопрольотній балці – довжина прольоту), а - висота поперечного перерізу, формулу (6.11) можна використовувати і при прямому поперечному згині. При розрахунку балок з відношенням треба користуватись більш точними формулами теорії пружності.

Визначення дотичних напружень

Нагадаємо (див. п.1.7), що поперечна сила , яка виникає у площині поперечного перерізу балки, є рівнодійною елементарних дотичних сил :

.

За законом про парність дотичних напружень у площині поздовжніх перерізів виникають дотичні напруження .

Розглянемо рівновагу елемента балки, що виділений двома безмежно близькими поперечними , і поздовжнім перерізами, які проведені через задану точку (рис. 6.9). На нього діють нормальні і та дотичні сили (рис. 6.10).

Рисунок 6.9

Рисунок 6.10

а)

б)

Рівняння рівноваги має вигляд

.

(6.13)

Виразимо сили через напруження:

;	(6.14)
;	(6.15)
,	(6.16)

де , і , - нормальні напруження і згинні моменти, відповідно в поперечних перерізах балки і ; - площа відрізаної частини поперечного перерізу балки (площа, що заштрихована на рис. 6.9,б); - статичний момент площі відрізаної частини перерізу відносно нейтральної осі.

При запису (6.16) прийнята до уваги гіпотеза Журавського, яка говорить про те, що дотичні напруження по ширині перерізу розподіляються рівномірно.

Підставивши (6.14) – (6.16) в (6.13) одержимо

.

(6.17)

Враховуючи, що приріст згинного моменту на довжині дорівнює , та беручи до уваги рівняння (6.2), отримаємо формулу Журавського

.

(6.18)

Розглянемо прямокутний поперечний переріз (рис. 6.11,а). Для нього , . Через точку , що знаходиться на відстані від центра ваги перерізу, проведемо січну паралельно нейтральній осі.

Статичний момент відрізаної частини перерізу відносно нейтральної осі

.

Підставляючи у формулу Журавського розглянуті величини, отримаємо

Рисунок 6.11 .

(6.19)

А

а) б) в)

наліз формули (6.19) показує, що дотичні напруження по висоті перерізу змінюються за законом квадратичної параболи (рис. 6.11,б)

при ; при .

При дії дотичних напружень виникає деформація зсуву, що призводить до скривлення поперечних перерізів балки. Характер такого скривлення показано на рис. 6.11,в. Більш детальне вивчення цих питань показує, що спотворення плоскої форми поперечних перерізів внаслідок деформацій зсуву не має суттєвого впливу на поздовжні деформації навіть коли поперечна сила неперервно змінюється вздовж балки.