18. . Згинний момент і поперечна сила

Прямим поперечним згином називається такий вид деформації, при якому в поперечних перерізах стержня можуть виникати лише два внутрішні силові фактори поперечна сила і згинний момент, які діють в головній площині інерції стержня.

Н

Головні площини інерції

агадаємо, що головна площина інерції це площина, яка проходить через вісь стержня і одну з головних центральних осей інерції його поперечного перерізу (рис. 6.1).

Стержень, що працює на згин, називають балкою. Основною ознакою деформації згину балки є зміна кривини її осі. Слово "прямий" вказує на те, що скривлення осі балки відбувається в її головній площині. Слово "поперечний" вказує на те, що зовнішні сили діють перпендикулярно до осі балки.

Для визначення поперечної сили і згинного моменту використовують метод перерізів (рис. 6.2). Поперечна сила в довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь перерізу всіх зовнішніх сил, розміщених з одного боку від нього

Згинний момент в довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів відносно осі перерізу усіх зовнішніх сил, розміщених з одного боку від нього

Рисунок 6.3

Для і приймають наступні правила знаків:

• поперечну силу вважають додатньою, якщо її вектор намагається обертати відрізану частину балки за годинниковою стрілкою відносно місця відрізу (рис. 6.3,а);

• згинний момент вважають додатнім, якщо він намагається стискати верхні волокна балки (рис. 6.3,б).

При відсутності поперечних сил, тобто коли , а згин називають чистим.

Диференціальні рівняння рівноваги

Розглянемо балку, навантажену розподіленим навантаженням інтенсивності (рис. 6.4). Виділимо з балки елемент довжиною . На нього діє розподілене навантаження, яке на довжині можна вважати рівномірно розподіленим, та згинні моменти і поперечні сили (приймемо їх напрям додатнім), що замінюють дію частин балки на виділений елемент (рис. 6.5).

З умов рівноваги одержуємо

,
звідки	,	(6.1)
,

звідки, нехтуючи квадратом малої величини

.

(6.2)

Продиференціювавши (6.2) і враховуючи (6.1), отримаємо

.

(6.3)

Аналізуючи отримані залежності бачимо наступне:

• на ділянці балки, де , функція спадає і навпаки;

• на ділянці балки, де , поперечна сила є сталою величиною;

• на ділянці балки, де одержуємо

,

тобто поперечна сила змінюється за лінійним законом;

• якщо , то , отже на ділянці де поперечна сила додатна, згинний момент зростає;

• якщо , то , отже в точці функція набуває екстремального значення;

• якщо , то , тому

,

тобто на ділянці, що вільна від розподіленого навантаження, згинний момент змінюється за лінійним законом;

• якщо , то

,

тобто на ділянці, що навантажена рівномірно розподіленим навантаженням, згинний момент змінюється за законом квадратної параболи.

Зауважимо, що балка попри розподілене навантаження може бути навантажена розподіленим моментним навантаженням інтенсивності , тоді рівняння (6.2) і (6.3) потрібно доповнити

.