16. Розрахунок на міцність

Умова міцності стержня (круглого чи кільцевого поперечного перерізу) при крученні має вигляд

.

(5.10)

Якщо для матеріалу стержня механічні характеристики при чистому зсуві ( і ) невідомі, то допустиме дотичне напруження приймають на основі теорій міцності:

• для пластичного матеріалу ;

• для крихкого матеріалу , або за теорією Мора .

Для круглого перерізу

.

(5.11)

Для кільцевого перерізу (з зовнішнім і внутрішнім діаметрами)

,

(5.12)

де .

При проектному розрахунку (5.11) чи (5.12) підставляють в (5.10) і отримують відповідно:

• для круглого перерізу

  ;

  (5.13)

• для кільцевого перерізу

,

(5.14)

де значенням потрібно задатись заздалегідь.

Умова жорсткості при крученні має вигляд

,

(5.19)

де - допустимий погонний кут закручування, що вибирають для різних конструкцій і різних видів навантаження з діапазону на 1м довжини.

При проектному розрахунку з умови (5.19) знаходять діаметр стержня:

• для круглого поперечного перерізу

;

(5.20)

• для кільцевого поперечного перерізу

.

(5.21)

У формули (5.19) і (5.20) значення слід підставляти в рад/м.

З двох діаметрів стержня, отриманих з умови міцності (5.10) і з умови жорсткості (5.19), приймають більше значення.

17. Стійка і нестійка рівновага стиснутого стержня

Під дією стискаючого навантаження, що поступово зростає, стержень проходить три форми рівноваги: стійку, байдужу та нестійку. Очевидна певна аналогія між стійкістю пружної системи і стійкістю положення абсолютно твердого тіла.

У стані стійкої рівноваги перебуває важка кулька на дні сферичного заглиблення (рис. 10.1,а). При відхиленні кульки від початкового положення вона після певної кількості коливань повернеться у вихідний стан. Стиснутий стержень перебуває в стані стійкої рівноваги, якщо стискаюча сила не перевищує критичного значення . У разі викривлення прямолінійної форми стержня внаслідок прикладання бічної сили він повернеться до початкової форми під дією внутрішніх сил пружності після усунення причини відхилення.

Кулька на горизонтальній плоскій поверхні (рис.10.1,б) перебуває в стані байдужої рівноваги, оскільки будь-яке її положення буде однаково стійким. Форма рівноваги стиснутого стержня є байдужою, коли стискаюча сила досягає критичного значення. При цьому стержень може зберегти п

Рисунок 10.1

рямолінійну форму, але може і втратити її внаслідок навіть незначного впливу.

Кулька на опуклій поверхні (рис. 10.1,в) перебуває в стані нестійкої рівноваги. У разі виведення кульки з цього положення у вихідний стан вона не повернеться. Стиснутий стержень перебуває в стані нестійкої рівноваги, якщо стискаюча сила перевищує критичне значення. При цьому прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Втрата стійкості – це відхилення осі стержня від прямолінійної форми рівноваги, спричинене дією стискаючої сили.

Стискаюче навантаження, перевищення якого призводить до втрати стійкості вихідної форми стержня, називається критичним.

Зазначимо, що втрата стійкості може відбутися навіть тоді, коли напруження під дією критичної сили не досягнуть границі пропорційності. Тому стиснуті стержні обов’язково слід перевіряти не тільки на міцність, а й на стійкість.

Для безпечної роботи стиснутих стержнів необхідно, щоб стискаюче навантаження було меншим за критичну силу:

,

(10.1)

де - коефіцієнт запасу стійкості.

Величину коефіцієнта запасу стійкості приймають трохи більшою, ніж величину коефіцієнта запасу міцності, оскільки беруть до уваги додаткові несприятливі обставини: початкове викривлення стержня, ексцентриситет прикладання навантаження та ін.

Для сталевих стержнів приймають від 1,8 до 3; для стержнів із чавуну ; для дерев’яних стержнів .

Щоб запобігти втраті стійкості конструкції, необхідно забезпечити виконання умови стійкості (10.1), а для цього потрібно вміти визначити критичне навантаження.

Задача Ейлера

П

Рисунок 10.2

Рисунок 10.3

рямий стержень з шарнірно обіпертими кінцями (рис. 10.2) стискається силою, що дорівнює критичній . Припускається, що напруження під дією критичної сили не перевищують границі пропорційності. У цьому разі стан рівноваги стержня буде байдужим, тобто викривлена форма стержня також буде зрівноваженою. Розглянемо стан стержня із зігнутою віссю, але вважатимемо відхилення від прямої форми неістотним. Тоді диференціальне рівняння осі стержня має вигляд

,

(10.2)

де - мінімальний момент інерції поперечного перерізу стержня; - відхилення центра ваги довільного перерізу від початкового положення на прямій осі; - згинний момент у довільному перерізі зігнутого стержня.

Рівняння (10.2) запишемо в такому вигляді:

.

Введемо позначення і дістанемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

(10.3)

Загальний інтеграл цього рівняння є гармонічною функцією

,

(10.4)

де та - сталі інтегрування, які визначаються з умов закріплення кінців стержня, тобто з граничних умов.

Шарнірне закріплення кінців стержня виключає відхилення в крайніх його точках, тобто виконуються такі граничні умови: якщо , то , якщо , то . Підставивши граничні умови в розв’язок (10.4), дістанемо систему двох рівнянь

; .

(10.5)

Стала інтегрування не повинна дорівнювати нулю, інакше виключається викривлення стержня. Звідси робимо висновок, що в другому з рівнянь (10.5) нулю дорівнює другий співмножник:

,

звідки

,

(10.6)

де - довільне ціле число.

З урахуванням раніше введеного позначення із співвідношення (10.6) визначимо множину критичних сил:

.

(10.7)

У розрахунках на стійкість практичне значення має найменша критична сила, що відповідає рівності :

.

(10.8)

Рівняння (10.8) називається формулою Ейлера.

Зігнута вісь стержня в стані байдужої рівноваги буде синусоїдою, рівняння якої

,

(10.9)

де - невизначене найбільше відхилення зігнутої осі від прямолінійного стану, яке, згідно з попереднім припущенням, має бути малим.

На довжині стержня між кінцевими шарнірами вміщується півхвиля синусоїди, оскільки відхилень не буде при та .

Якщо більше за одиницю, то зігнута вісь стержня, що описується рівнянням

,

вміщує більше ніж одну півхвилю синусоїди відповідно до числа (рис. 10.3). В таких умовах потрібна більша критична сила, щоб утримати стержень у зігнутому стані з півхвилями, як це видно з формули (10.7).

Отже, якщо стискаюча сила , то стержень має лише одну – прямолінійну форму рівноваги, що є стійкою.

Якщо , то поряд із прямолінійною існує інша – криволінійна форма рівноваги, причому прямолінійна форма рівноваги нестійка, а стійкою є викривлена форма рівноваги. В таких випадках кажуть, що відбувається біфуркація рівноважних станів стержня.

Слід звернути увагу на те, що критична сила не залежить від характеристик міцності матеріалу стержня.