1. Напруження та деформації при розтягу(стиск)

Розглянемо стержень, що знаходиться в рівновазі під дією сил, спрямованих вздовж його осі (рис.2.4,а). Для знаходження напружень в поперечних перерізах розглянемо три аспекти поставленої задачі.

Статичний аспект. Рівняння рівноваги відрізаної частини стержня:

Рисунок 2.4.

. (2.3)

Г

а)

б)

еометричний аспект, тобто .

Фізичний аспект. .

(2.5)

Отже, при центральному розтягу – стиску стержня зі сталими поперечними розмірами в довільному поперечному перерізі виникають нормальні напруження, що рівномірно розподілені по ньому, і дорівнюють відношенню поздовжньої сили до площі поперечного перерізу.

При розтягу – стиску може виникати і неоднорідний напружений стан. Розглянемо стержень із змінною площею поперечного перерізу (рис.2.5). Тут напруження в різних точках мають різну величину і різний напрям.

Поздовжні і поперечні деформації

Розглянемо стержень прямокутного поперечного перерізу (рис.2.6). Під дією розтягуючих сил стержень деформується. Його довжина збільшується, а поперечні перерізи зменшуються.

Рисунок 2.6

Величину називають абсолютним видовженням стержня, або абсолютною поздовжньою деформацією.

Величини і називають абсолютними поперечними деформаціями стержня.

Відношення абсолютної поздовжньої деформації стержня до його початкової довжини називають відносною поздовжньою деформацією:

.

(2.8)

Відношення абсолютної поперечної деформації стержня до його початкового поперечного розміру називають відносною поперечною деформацією:

; .

(2.9)

Для ізотропних матеріалів поперечні деформації рівні між собою .

Деформації і іноді також називають ліній-ними деформаціями в напрямку осей і .

Експериментально встановлено, що при малих видовженнях між напруженнями і деформаціями існує прямо пропорційна залежність:

.

(2.10)

Ця залежність математично виражає закон Гука при розтягу – стиску. Коефіцієнт пропорціональності називають модулем пружності першого роду (модуль Юнга) .

Прирівнявши праві частини (2.5) і (2.10) та врахувавши (2.8) отримаємо

.

(2.11)

Бачимо, що модуль Юнга характеризує здатність матеріалу опиратись пружній деформації. Чим більше значення модуля Юнга, тим менше розтягується стержень при інших однакових умовах. Якщо гіпотетично уявити, що , то з рівняння (2.11) , тобто модуль Юнга чисельно рівний напруженню, що виникає в стержні при збільшенні його довжини удвічі.

Добуток - називають жорсткістю поперечного перерізу стержня при розтягу – стиску. Це важлива фізико-геометрична характеристика стержня. Тут модуль характеризує фізичні властивості – якість, а

площа характеризує геометричні властивості – кількість матеріалу стержня.

При змінних (чи однієї з цих величин) формула (2.11) набуває вигляду:

.

(2.13)

Між поздовжніми і поперечними деформаціями стержня існує чіткий, експериментально встановлений взаємо-зв’язок.

Абсолютне значення відношення відносної поперечної деформації до відносної поздовжньої деформації при розтягу чи стиску є величиною сталою для даного матеріалу і зветься коефіцієнтом Пуассона:

.

(2.16)

Це безрозмірний коефіцієнт, що характеризує пружні властивості матеріалу і визначається експериментально. Для різних матеріалів значення коефіцієнта Пуассона знаходиться в межах . Наприклад для корка , для парафіну і гуми для більшості металів .

Взагалі кажучи, коефіцієнт Пуассона для ізотропних матеріалів повинен перебувати в межах . Тут від’ємну нижню межу отримано теоретично, виходячи з енергетичних міркувань. Однак на сьогодні не відомі конструкційні матеріали, що мають від’ємне значення коефіцієнта Пуассона. Очевидно, що вони з’являться в майбутньому.

Поперечні деформації в напрямку осей з рівняння (2.16) із врахуванням (2.10):

.

(2.17)