Розділ 2 методи дискретної нелінійної динаміки для аналізу та прогнозування в економіці

2.1. Нелінійні моделі економічного зростання

Проблеми економічного зростання завжди привертали увагу економістів. Ще в теоріях меркантилістів важливе місце посідали питання забезпечення тривалого економічного зростання, що відіграє значну роль у процвітанні чи занепаді будь-якої держави. Проте внаслідок маржиналістської революції в економічній теорії поширився статичний рівноважний підхід й інтерес до проблем зростання знизився.

Великі зрушення, якими ознаменувався період між двома світовими війнами в економіці розвинутих країн, змусили економічну думку знову звернутися до проблем зростання. Величезне значення мала " кейнсіанська революція", під час якої виникла цілісна макроекономічна теорія, що оперувала агрегатними показниками і досліджувала умови макроекономічної рівноваги.

Малосекторні нелінійні моделі використовуються для вивчення довготермінових тенденцій і чинників розвитку (трансформації) економіки. Невелика кількість секторів дозволяє аналітично подати й проаналізувати на моделі розвиток економіки з адекватним урахуванням нелінійних залежностей обсягів випуску секторів від обсягів ресурсів за різних значень екзогенних параметрів і на підставі цього отримати деяку узагальнену картину економічного зростання.

Модель Солоу є односекторною моделлю економічного розвитку. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляючи лише один узагальнений продукт, котрий може і споживатись, і інвестуватись. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт-імпорт у явному вигляді не враховуються [19].

Стан економіки в моделі Солоу задається п’ятьма ендогенними змінними:

X — валовий суспільний продукт (ВСП),

C — фонд невиробничого споживання,

I — інвестиції, L — кількість зайнятих,

K — виробничі фонди.

Окрім цього, в моделі фігурують такі екзогенні (що задаються поза системою) показники:

v — річний темп приросту чисельності зайнятих,

 — частка вибулих протягом року основних виробничих фондів,

a — коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові),

 — норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП).

Межі екзогенних параметрів:

Робиться припущення, що ендогенні змінні змінюються в часі (аргумент t випускається, але він, як правило, є присутнім за визначенням). Екзогенні змінні вважаються постійними в часі. Вважається, зокрема, що норма накопичення є керуючим параметром, тобто в деякий початковий момент часу t₀ = 0 вона може встановлюватись керуючим органом системи на будь-якому рівні в межах області допустимих значень. Час t вважають неперервним і таким, що вимірюється в роках. Для миттєвих показників L = L(t), K = K(t) це є досить природним, оскільки, в принципі, будь-якого дня можна дізнатися про чисельність зайнятих і шляхом інвентаризації встановити обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоку X = X(t), I = I(t), C = C(t) у момент часу t = [t] + {t} визначається у вигляді накопичених протягом року, що починається на 365{t} днів пізніше 1 січня року [t].

Робиться припущення, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією від двох змінних (ресурсів) K та L.

(2.1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники впродовж малого проміжку часу t. Згідно з означенням темпу приросту чисельності зайнятих

або

отже, здійснюючи інтегрування, маємо:

Використовуючи початкову умову L(0) = L₀, отримаємо

Зношеність фондів та інвестиції з розрахунку на рік дорівнюють K та I відповідно, а протягом часу t — відповідно Kt, It, тому приріст фондів упродовж цього часу

звідки отримаємо диференціальне рівняння:

Оскільки проміжний продукт становить aX, то валовий внутрішній продукт дорівнює (1 – a)X. Інвестиції I = (1 – a)X, а фонд споживання C = (1 – )(1 – a)X.

Отже, отримаємо таку формалізовану модель Солоу в абсолют­них показниках:

(2.2)

На рис. 2.1 наведена схема функціонування економіки згідно з моделлю Солоу.

Рис. 2.1. Схема функціонування економіки за Солоу

Уведемо також такі відносні показники:

— фондоозброєність;

— народногосподарська продуктивність праці;

— питомі інвестиції (на одного зайнятого);

— середньодушове споживання (на одного зайнятого).

Оскільки

то модель Солоу набуває такої форми в питомих (відносних) показниках:

(2.3)

Наголосимо, що кожен абсолютний чи відносний показник змінюється в часі, тобто можна вести мову про траєкторію системи в абсолютних чи відносних показниках. Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники не змінюються в часі:

Як неважко помітити з формул (2.3), встановлення фондоозброєності на деякому постійному рівні k⁰ приводить до виходу на стаціонарну траєкторію.

На стаціонарній траєкторії тому

, (2.4)

або

Оскільки функція F(K, L) — неокласична, то f(0) = 0, f > 0, f < 0.

Якщо, окрім цього, задати умову то рівняння (2.4) матиме єдиний відмінний від нульового розв’язок k⁰, який показує стаціонарний рівень фондоозброєності. Через позначено рівень фондоозброєності, за якою швидкості зростання функцій g₁(k) = k та g₂(k) = (1 – a)f(k) є рівними, тобто — корінь рівняння

(2.5)

Зазначимо: якщо k₀ = k⁰, то економіка вже перебуває на стаціонарній траєкторії й може зійти з неї лише за зміни зовнішніх умов (встановлення іншого значення норми накопичення чи переходу до нових технологій, що супроводжується зміною функції F(K, L)).

Якщо k₀  k⁰, то в економіці відбуватиметься перехідний процес, котрий (гіпотетично) завершиться встановленням стаціонарного режиму.

Розглядають три типи перехідного процесу стосовно до фондоозброєності [5]:

1. якщо — спочатку має місце прискорене зростання фондоозброєності, яке після досягнення значення змінюється сповільненим зростанням;

2. якщо — сповільнене зростання фондоозброєності;

3. якщо — сповільнене зниження фондоозброєності («проїдання» фондів).

Аналогічно змінюється й решта відносних показників (x, i, c), оскільки вони пропорційні k^. Отже, якщо має місце досить короткотривалий перехідний процес. Тобто теоретично перехідний процес закінчується через нескінченно великий проміжок часу, але практично через відносно невеликий проміжок поточне і стаціонарне значення показника розрізнятимуться лише на кілька відсотків.

З моделі Солоу випливають такі основні висновки [36]:

а) вона показує, що норма заощаджень в економіці визначає розмір запасу капіталу, а відповідно і обсяг виробництва. Чим вища норма заощаджень, тим вища капіталоозброєність і вища продуктивність;

б) зростання норми заощаджень зумовлює період швидкого зростання до досягнення нового стійкого стану. У довгостроковому плані зростання норми заощаджень не впливає на темп зростання. Тривале зростання продуктивності залежить від технологічного прогресу;

в) розробники економічної політики часто заявляють, що норма нагромадження капіталу повинна бути збільшена. Зростання державних заощаджень і податкове стимулювання приватних заощаджень є способами прискорення нагромадження капіталу;

г) темп зростання населення також впливає на рівень життя. Чим вищий темп зростання населення, тим нижчим є обсяг виробництва у розрахунку на одного робітника.

З моделі Солоу робимо висновок, що чим більша норма заощаджень, тим вищою є капіталоозброєність робітника у стані збалансованого зростання, а отже, тим вищий темп збалансованого зростання. Але зростання не є самоціллю. Тому наступним логічним кроком було визначення умов оптимального для суспільства економічного зростання.