10.Теоремы о пределах функции.

1.  Предел константы равен самой этой константе:

с = с. 2.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k •  f (х)] = k •   f (х).

3.  Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] =   f (х) ±  g (x).

4.  Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] =   f (х) •   g (x).

5.  Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

11. Два замечательных предела. Таблица эквивалентности.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел:

Таблица эквивалентных бесконечно малых при  .

1	.
2	.
3	.
4	.
5	.
6	(  ).
	.
7	(  ).
	.

12. Понятие непрерывности функции. Действия над непрерывными функциями. Определение: функция непрерывна в точке  , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:  .Определение детализируется в следующих условиях: 1) Функция должна быть определена в точке  , то есть должно существовать значение  . 2) Должен существовать общий предел функции  . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов:  .3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функцию в этой точке:  . Действия над непрерывными функциями:Теорема 1Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a. Теорема 2. Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функций f (x) g (x) также непрерывно в точке x = a. Теорема 3. Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций   также непрерывно при x = a при условии, что  . 

13. Классификация точек разрыва функции. Примеры разрывных функций, их графики. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. Классификация точек разрыва функции: Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

Примеры разрывных функций

Пример 1. Функция   определена и непрерывна на  за исключением точки  . Определим тип разрыва. Поскольку   и  , то в точке   разрыв второго рода (рис. 6). Пример 2. Функция   определена и непрерывна при всех  , кроме  , где знаменатель равен нулю. Найдем односторонние пределы в точке  : . Односторонние пределы конечны и различны, следовательно,   – точка разрыва первого рода (рис. 7).

14. Основные свойства непрерывных функций. Теорема 1. (теорема об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция   непрерывна в точке   и  . Тогда существует положительное число  такое, что всюду в  –окрестности точки  , функция   имеет тот же знак, что . Теорема 2^’. Если функция   определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки  , непрерывна в точке   справа (слева) и её значение  отлично от нуля, то найдётся такое положительное число  , что функция   всюду в правой (левой)   -полуокрестности точки   имеет тот же знак, что и .Теорема 3. (О прохождении через нуль непрерывной на сегменте функции) Пусть функция   непрерывна на сегменте  и её значения на концах этого сегмента   и   являются числами разных знаков, тогда внутри сегмента  найдётся такая точка  , что  . 

Теорема 4. (прохождение непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение) Пусть функция  непрерывна на сегменте  , причём  . Тогда для любого значения  , заключённого между и  , на сегменте   найдётся точка  , такая что 

Теорема 5. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция   непрерывна на отрезке  , то она ограничена на этом сегменте. Теорема 6. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция   непрерывна на сегменте  , то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т.е. существуют точки  ,   сегмента   такие, что