8.Предел числовой последовательности. Понятие ограниченных сверху (снизу) последовательностей.

Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3…n поставлено в соответствие вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, …x_n – называется числовой последовательностью.

x₁, x₂, …x_n - элементы числ. Послед.

x_n – общий член

– обозначение кратко последовательности.

– сумма последовательности и т. д.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворял неравенству x_n М (x_n )

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа m и М такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам m x_n M

Последовательность называется негограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент x_n этой последовательности, удовлетвор. неравенству

9.Предел функции в точке, односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке. Пределы при х→+∞, х→-∞.

Число А называется пределом функции f(x) в точке x=x₀, если для любого числа Е>0 существует число δ<0 такое, что для всех х принадлеж. Х, х неравное х₀ удовлетворяющих неравенству < δ выполняется неравенство <E

Т. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х₀ пределы B и C, тогда функции f(x) g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при С 0) имеют в точке х₀ пределы равные соответственно В С, ВС, В/С, т.е. lim =В+С при х х₀, lim =ВС при х х₀, lim =В/С при х х₀

Т_. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x) g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (частное при g(x₀) 0)

Пусть переменная  x  стремится к  a, оставаясь больше  a, и при этом   . Тогда число  A  называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции     и обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае     при  x → a  со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции     в точке  a  необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

Число А называется пределом функции f(x) при х , если для любой бесконечной большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходятся к А. lim f(x)=A при х Число А называется пределом функции f(x) при х (- , если для любой бесконечной большой последовательности значений аргумента, элементы х_n которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходиться к А. lim f(x)=A при х Число А называется пределом функции f(x) при х , если для любого числа E>0 существует число δ такое, что для всех х принадлежащих Х, удовлетворяющих неравенству х> δ, выполняется неравенство <E