3.Уравнение прямой на плоскости, их частные случаи.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом – y=kx+b. Если k=0, то прямая параллельна оси Оx, и ее уравнение имеет вид y=b.

Углом наклона α называется угол между прямой и осью Ox. α

Тангенс угла наклона прямой к оси Оx называется угловым коэффициентом этой прямой и обозначается k: k=tg α

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. То есть надо составит ура-е, зная ее одну точку и угл. Коэффициент. Подставив эти данные в y=kx+b, найдем b. Так получаем искомое уравнение: y – y₁=k(x – x₁)

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

М(x1;y1) и М(x2;y2)

y-y1= (x-x1), если y1 неравно y2, то

y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1

Если y1=y2, то уравнение искомой прямой имеет вид y1=y2. В этом случае прямая параллельна оси Оx. Если x1=x2, то имеет вид x1=x2 и параллельна оси Оy.

Общее уравнение прямой – уравнение первой степени:

Ax + By +C = 0

Если что-то равно 0, то:

1. C=0, y= - Ax+By, проходит через начало координат

2. B=0, Ax+C=0, параллельно Оy

3. A= 0, By+C=0, параллельно Ox

Если ничего не равно нулю, то x/a +y/b = 1

Где a = -C/A, b= - C/B – называется уравнением прямой «в отрезках»

Xcosα +ysinα – p=0 – нормальное уравнение прямой L. Чтобы Ax + By +C привести к нормальному уравнению, надо умножить на нормирующий множитель µ=

Расстояние от точки M₀(x₀;y₀) до прямой L :

d=

4.Угол между прямыми. Условия параллельности, перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

tgα= , второй угол находится как π – α

Условие параллельности 2х прямых k1=k2

Условие перпендикулярности: k2=

5.Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Их уравнения, графики и свойства исследование уравнения эллипса.

Эллипс – множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от 2х данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами

F1 и F2 – фокусы, r1 и r2 – расстояние от точки М до фокусов

Каноническое уравнение эллипса, где b=√a² – c², a>b:

x²/a² + y²/b² = 1

Эксцентриситетом Е эллипса называется отношение c/a, где с – половина расстояния между фокусами, а – большая полуось эллипса.

Е= c/a и Е<1

r1=a+Ez, r2=a – Ex

Гипербола – множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от 2х данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

2c - – расстояние, и – фокальные радиусы

Каноническое уравнение гиперболы: x²/a² – y²/b²=1, где b=√c²-a², a – действительная, b – мнимая полуоси гиперболы, c/a=E>1 = эксцент.

r1 , r2 - фокусн. Радиусы

y= bx/a – ассимптоты гиперболы, если x²/a² – y²/b²=1 и y²/b² – x²/a²=1 – сопряжение гиперболы

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых находится га одинаковом расстояние от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Р – параметр параболы

Каноническое уравнение: y²=2px

Фокус параболы: F=(p/2;0)

Директриса: x=-p/2, фокусное радиус: r=x +p/2

Парабола ассиметрична оси Ox; если x²=2py – ассиметрична оси Oy.