82. Относительная частота как точечная оценка вероятности.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов W(A)=m/n . Замечание: отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. Пример 1. В коробке находится шары. Из коробки наугад извлекают 5 шаров и 2 из них оказались красными. Найти относительную частоту появления красного шара. Решение :Т.к. из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события, т.е.P(A)=lim W(A) . Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий P(A)=m/n. Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, относительная частота и вероятность могут не совпадать.Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

48.Разложение вектора

Спроектируем вектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

аx = аx· i, аy = аy· j.

Но в соответствии с правилом сложения векторов

а = аx + аy.

Или

а = аx· i + аy· j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции аx и аy называются составляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осям прямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = аx· i + аy· j + аz· k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так:

а = аx + аy + аz.

. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b

49.

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

Алгебраические свойства векторного произведения

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство "противоположно" закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.

Вычисление площади параллелограмма.Теория .

Параллелограм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Площадь параллелограмма вычисляется по одной из следующих формул:

S=AD*BE

где AD - сторона, BE - ввысота, опущенная на данную сторону параллелограмма.

S=AB*AD*sin(< BAD)

где AB и AD - стороны параллелограмма, а < BAD - угол между ними.

S=0.5*AC*BD*sin(< BOC)

где AC и BD - диагонали параллелограмма, а < BOD - угол между ними.

50. Смешанное произведение векторов

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

ВЫЧИСЛЕНИЕ О П:

Программа предназначена для расчета объёма параллелепипеда.

Призма, основанием которой служит параллелограмм, называется параллелепипедом.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению высоты параллелепипеда h на площадь основания S прямоугольного параллелепипеда.

Формула для вычисления площади основания прямоугольного параллелепипеда S:

где a, b - стороны.

Тогда формула для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда будет иметь следующий вид:

где h - высота параллелепипеда.

51. Общее уравнение плоскости

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

Общее уравнение плоскости

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

Коэффициенты являются координатами нормального вектора плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости.

Частные случаи.

Если в уравнении D=0 , то плоскость проходит через начало координат.

При A=0 (B=o ,C=0 ) плоскость параллельна оси (оси , оси ) соответственно.

При A=B=0 плоскость параллельна плоскости (плоскости , плоскости ). .

Коэффициенты являются координатами нормального вектора плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости.

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости:

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение.

52. Уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

В векторном виде:

В координатах: