86. Понятия функциональной и корреляционной зависимости. Корреляционный момент.

Если данному значению одной величины соответствует вполне определённое значение другой величины, то говорят, что между данными величинами существует функциональная зависимость. Однако на практике достаточно часто случается так, что значению одной величины соответствует целый комплекс значений другой, представляющий собой ряд распределения, причём при изменении данной величины меняется ряд распределения и его средняя – корреляционная зависимость. В качестве примеров корреляционной зависимости можно привести зависимость себестоимости продукции от размера предприятия, зависимость спроса на товары от цены на рынке и другие.

Корреляционный анализ используется для оценки взаимосвязей, для последующего определения детерминант того или иного рассматриваемого показателя. Ковариация или корреляционный момент представляет собой математическое ожидание произведения отклонений случайных величин:

 – количество наблюдений;   – значение i-го признака одного события;   – значение i-го признака другого события;   – средние значения   соответственно.

87.Коэффициент корреляции как измеритель линейности стохастической зависимости.

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.

83.Доверительный интервал. Точность и надёжность интервальной оценки.

доверительным называется интервал, который с заданной надежностью   покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания   случайной величины  , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении   служит доверительный интервал

где   - точность оценки,   - объем выборки,   - выборочное среднее,   - аргумент функции Лапласа, при котором 

Для оценки Θ* некоторого параметра Θ справедливо неравенство | Θ* - Θ | < δ, число δ > 0 характеризует точность оценки( чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.

. Надежностью (доверительной вероятностью)оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим:  p ( Θ* - δ < Θ < Θ* + δ ) = γ.Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал ( Θ* - δ, Θ* + δ).

Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

84.Понятие статистической гипотезы. Основная и альтернативная гипотезы. Уровень значимости. Ошибки I и II рода. Критерии.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое мы хотим проверить по имеющимся данным

Нулевая гипотеза – это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п.

Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы).

Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

первый уровень — 5% (р=5%); где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого экспе­римента;

второй уровень — 1%, т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста;

третий уровень — 0,1%, т. е. допускается риск ошибить­ся только в одном случае из тысячи.

Ошибки, допускаемые при проверке гипотез, удобно разделить на два типа: 1) отклонение гипотезы Н₀, когда она верна, — ошибка первого рода; 2) принятие гипотезы Н₀, когда в действительности верна какая-то другая гипотеза, — ошибка второго рода.

      Вероятность ошибки первого рода обозначается  . Величина   называется уровнем значимости критерия, по которому проверяется справедливость гипотезы Н₀.

  Методы, которые для каждой выборки формально точно определяются, удовлетворяют выборочные данные нулевой гипотезы или нет, называются критериями значимости.

Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1) сформулировать проверяемую гипотезу Н₀. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза;

2) выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значени