1.Декартовы координаты. Простейшие задачи аналитической геометрии.

Декартовы координаты – это прямоугольные координаты. Две взаимно перпендикулярные линии Оx и Оy, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоуголную систему координат на плоскости.

Оx – ось обсцисс, Оy – ось ординат, а обе оси называются – осями координат. Пусть есть точка М (x;y), у которой при этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй – ординату. Начало координат имеет координаты (0;0). Ось координат разбивают плоскость на четверти, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют цифрами I, II, III, IV.

Простейшие задачи. Расстояние между 2 точками М(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂) d=

Площадь треугольника ABC

S=

Деление отрезка в отношение λ=

Если точка М(x;y) делит отрезок M1M2 в отношение λ, то координаты этой точки определяются формулами x= ; y= , где координаты (x1;x2) – координаты точки М1, (x2;y2) – координаты точки М2

2.Полярные координаты. Преобразования прямоугольных координат. Уравнения линий на плоскости.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О – полюсом, исходящего из него луча ОЕ – полярной осью, и масштаба для измерения длин отрезков.

α

М

О

р

р – расстояние от точки М до О

α- угол, на который надо повернуть против часовой стрелки полярную ось до совмещения с лучом ОМ. Полярные координаты точки М это числа р и α, (р; α).

р – полярный радиус; α – полярный угол изменяются в пределах 0 р

и 0

Есть формулы для перехода из полярных в прямоугольные координаты и наоборот:

x=рcos α, y=psin α

p=√x²+y², tg α=y/x

Преобразование прямоуг. Координат.

1.Параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления остаются прежними.

Формулы, выражающие связь между новыми и старыми координатами точки М:

x=x’+a, y=y’+b или x’=x-a, y’=y-b, где a и b – координаты нового начала в старой системе координат, x' и y’ – новые координаты точки М

2.Поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.

Формулы, выражающие взаимосвязь между старыми и новыми координатами точки М:

Или

Уравнения линии на плоскости.

Уравнение F=(x;y)=0 называется уравнением линии L (в задан. Сист. Коорд.), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Примеры уравнений линий:

1.x – y=0. Множество точек, координаты которых удовлетворяют данному условию, представляет собой биссектрисы I и III координатных углов. Это и есть линия, определенная уравнением

2.x² – y² =0 Представив в виде (x-y)(x+y)=0 Две прямые, содержащие биссектрисы 4х координатных углов

3.x²+y²+1=0 так как в любом случае больше нуля, то нет ни одной точки, удовлетворяющей условию. И т.д.