Значения тригонометрических функций нестандартных углов [править]

Тригонометрические формулы Основные тригонометрические тождества

• sin² α + cos² α = 1

• tg α · ctg α = 1

• tg α = sin α ÷ cos α

• ctg α = cos α ÷ sin α

• 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

• sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

• sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α

• cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

• cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

• tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

• ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

• ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла

• cos 2α = cos² α - sin² α

• cos 2α = 2cos² α - 1

• cos 2α = 1 - 2sin² α

• sin 2α = 2sin α · cos α

• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

• sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

• cos 3α = 4cos³ α - 3cos α

• tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)

• ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы понижения степени

• sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2

• sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4

• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2

• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4

• sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8

• sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

• sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))

• sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))

• cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению

Методы решения тригонометрических уравнений

Метод замены переменный и подстановки

Решить уравнение 6sin2x−5sinx+1=0 

Решение: Введем новую переменную sinx=t t 1 , получим квадратное уравнение 6t2−5t+1=0. Его корнями являются числаt1=21 t2=31. Дданное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям sinx=217sinx=31. Решая их, находим, чтоx=(−1)k6 + k k Z и x=(−1)narcsin31+ n n Z корни уравнения.

Метод равенств одноимённых тригонометрических функций.

Решить уравнение sin 6x−3 =sin 2x+4  

Решение: Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда 6x−3 =(−1)k 2x+4 + k k Z . Решая это уравнение, находим x=6− −1 k23 + −1 k4 + k k Z . Если k = 2m - четное число, то корень уравнения находят по формуле x1=748 +2 m m Z. Если k = 2m + 1 - нечетное число, то корень уравнения находят по формуле x2=9613 +4 t t Z

Замечание. Условия равенств одноименных тригонометрических функций, которые пименяются для решения следующих уравнений:

• sinx=siny x= −1 ky+ k k Z 

• cosx=cosy x= y+2 k k Z 

• tgx=tgy x=y+ k k Z 

Метод разложение на множители

Решить уравнение cos2x+sinx cosx=1 

Решение: cos2x+sinx cosx=1 cos2x+sinx cosx−cos2x−sin2x=0 sinx cosx−sin2x=0   sinx cosx−sinx =0 sinx=0  cosx−sinx=0    sinx=0  tgx=1    x= n n Z  x=4 + k k Z    .

Метод приведение к однородному уравнению

Решить уравнение 3sinx+4cosx=1 

Решение: Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:3 2sinx2cosx2+4cos2x2−4sin2x2=sin2x2+cos2x2. После приведения подобных слагаемых имеем: 5sin2x2−6sinx2 cosx2−3cos2x2=0. Разделив однородное последнее уравнение на cos2x2 =0, получим 5tg2x2−6tgx2−3=0. Введем новую переменную tgx2=t, получим квадратное уравнение5t2−6t−3=0, корнями которого являются числа t1 2=53 24  Таким образом tg2x1=53−2 6иtg2x2=53+2 6 . Общее решение можно записать так x1 2=2arctg53 2 6+2 k k Z 

Замечание. Выражение cos2x2 обращается в нуль при x2=2 + k k Z , т.е. при x= +2 k k Z . Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.

Метод применения свойств функций

Решить уравнение cosx+sinx4=2

Решение: Так как функции cosx  и sinx4 имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если cosx=1  и sinx4=1, одновременно, то есть  cosx=1; sinx4=1    x=2 k k Z; x=2 +8 m m Z    x=2 +8 n n Z 

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Построение графиков. График логарифмической функции log_aх можно построить, воспользовавшись тем, что функция log_aх обратна показательной функции y = a^x. Поэтому достаточно построить график функции y = a^x, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

Свойства функции у = logaх , a > 1: D(f) = (0; + ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на (0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (- ;+  ); выпукла вверх; дифференцируема.

Свойства функции у = ln х : D(f) = (0; + ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на {0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (- ;+  ); выпукла вверх; дифференцируема.

Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 : D(f) = (0;+  ); не является ни четной, ни нечетной; убывает на (0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (-; +  ); выпукла вниз; дифференцируема.

Определение. Функция вида  называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

a = 0	Выражения вида 0x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
a = 1	Выражение 1x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
a < 0	Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.

Само аналитическое выражение a^x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x^y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.

Построить графики функций:   и  .

График показательной функции
y = ax , a > 1	y = ax , 0< a < 1

Свойства показательной функции

Свойства показательной функции	y = ax , a > 1	y = ax , 0< a < 1
Область определения функции
2. Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, ax > 1	при x > 0, 0< ax < 1
	при x < 0, 0< ax < 1	при x < 0, ax > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях xи y;

Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.

Производные ф-ции

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции называется такое число  , что функцию в окрестности  можно представить в виде

если   существует.