6.2 Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит

В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не допускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с расходами по содержанию запасов, дефицит допустим.

График движения запаса для такой ситуации приведен на рисунке 4.11, где обозначает количество продукции, потребляемой в течение заготовительного периода.

Рисунок 4.11 – Движение запаса в однопродуктовой статической модели, допускающей дефицит

Не производя подробного вывода формул, скажем следующее.

В случае, когда вид минимизируемой функции определяется посредством соотношений (4.1) - (4.3), оптимальные значения параметров q^* и S^* имеют следующий вид:

(4.10)

(4.11)

Нетрудно заметить, что при больших издержках от неудовлетворенного спроса, т.е. при недопустимости дефицита (a → ∞), q^* и S^* в формулах (4.10) и (4.11) стремятся к соответствующим значениям в формулах (4.8) и (4.9).

6.3 Модель с постепенным пополнением запасов

Простейшая однопродуктовая статическая модель, рассмотренная нами в разделе 6.1, обладала тремя свойствами: достоверно известный спрос, мгновенное пополнение запаса, отсутствие дефицита.

Что происходит с оптимальными параметрами модели при допущении дефицита, мы выяснили, рассмотрев материалы раздела 6.2. А что же будет происходить с параметрами модели в случае, когда процесс пополнения запаса распределен во времени? Исследуем эту ситуацию.

В некоторых случаях, например, когда предприятие одновременно является производителем и потребителем изделий, запасы пополняются постепенно, а не мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производственной системы выполняет функцию поставщика для другой части этой системы, выступающей в роли потребителя.

Если темпы производства и потребления одинаковы, то запасы создаваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска сразу же используется. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.

График движения запасов в такой системе будет иметь вид, соответствующий графику, представленному на рисунке 4.12. Приведем обозначения необходимых для дальнейшего анализа величин:

q - объем производимой партии, шт.;

- интенсивность потребления, шт./ед. времени;

- темп производства, шт./ед. времени; соответственно, - - темп прироста запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;

Z_max - максимальный уровень запасов;

b - расходы на хранение единицы продукции в единицу времени, ед. стоимости;

c₀ - затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;

- продолжительность пуско-наладочных работ, иначе время упреждения заказа, ед. времени.

Рисунок 4.12 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением

Из графика видно, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление же происходит на протяжении всего цикла. Во время производственной стадии цикла создаются запасы. Их уровень равен разнице между уровнем производства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень запасов будет повышаться. Когда производство прекращается, уровень запасов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максимальным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.

Когда компания сама производит изделия, то у нее нет как таковых расходов на заказ. Однако для каждой производственной партии существуют расходы на подготовку - это стоимость подготовки оборудования к данному производственному процессу: наладка, замена инструмента и т.п. По иному такие расходы называются затратами на пуско-наладочные работы. Стоимость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера партии. Аналогично и использование этих величин при расчетах.

Перейдем к определению оптимальных параметров рассматриваемой модели. Для этого используем прием, уже примененный нами в разделе 6.1: составим выражение, показывающее зависимость затрат V от параметров модели, отыщем производную и приравняем ее нулю.

На этот раз включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на проведение пуско-наладочных работ и затраты на хранение продукции. Расходы, пропорциональные объему партии (компонент, включающий величину c₁), в функцию включать не будем. Во-первых, как мы видели выше, это слагаемое никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных параметров, во-вторых, в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и потребителем продукции, такие затраты по сути не связаны с функционированием системы хранения запасов.

Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0,t]:

V(t) = c₀n(t) + b∙Z_ср∙t → min.

Используя соотношениe (4.6) и переходя к затратам в единицу времени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:

V = c₀∙ + b∙ → min.

Выразим Z_max через q (объем производственной партии). Это легко сделать, используя график движения запаса, представленный на рисунке 4.12, а именно, рассматривая некоторые треугольники и используя простейшие тригонометрические соотношения:

Z_max = ( - ),