Глава 3 Двойственность в линейном программировании

Любая задача ЛП тесна, связана с другой линейной задачей, называемой двойственная. Начальная задача имеет название прямая (или исходная).

Две симметричных двойственных задач имеют вид:

Прямая задача	Двойственная задача
П г=^С|Х^ -» шах, j=i	m F=£b.y. -*min, i=l
п Y_iaijxJ<bi,i = \,m, 7=1	m Yja»y> /=i
Xj >0,j = l,n.	у- >0,/= 1,777.

3.1 Правила построения двойственной задачи к исходной задаче лп в общем виде

1. Исправляется запись начальной задачи: если в целевой функции задачи стоит шах, то знак ограничения должен иметь вид < или =, а если min, то знак ограничения должен иметь вид > или =.

2. Отдельному ограничению начальной задачи обозначается в соответствие двойственная переменная y,,i = \,т и наоборот, т.е. количество переменных двойственной задачи равняется числу ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.

3. Когда целевая функция задачи исследуется на шах, то двойственная задача исследуется на min, и наоборот.

4. Компоненты целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи.

5. Свободные члены системы ограничений исходной задачи являются компонентами целевой функции двойственной.

6. Матрицы компонентов систем ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

7. Если на переменную x_j (j = 1, и,) исходной задачи наложены

ограничения на знак, то j-e ограничения двойственной задачи записывается в виде неравенства, и наоборот.

6. Если переменная х_/.(J = п_х +1,п) прямой задачи произвольная, то j-e

ограничения двойственной задачи имеют знак равенства.

6. Если в исходной задаче имеются ограничения-равенства, то на симметричные переменные двойственной задачи не накладываются условия неотрицательности.

3.2 Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

Пусть имеются две симметричных двойственных задачи.

Прямая задача	Двойственная задача
П z=^CjXj —» max, j=i	m F=Sb.yi -»min> i=l
п YJauxj^bi,i = l,m, 7=1	m -Cpj = ^n, /=1
Xj >0,7 = l,n.	5 II © Л1

Главное неравенство теории двойственности.

Для любых допустимых планов Х=(х, ,х₂,.. ,х_п) и Y=(y, ,у₂,.. .у_m) исходной и двойственной задач всегда является неравенство

n m

^Z(X) < F(Y) или XCjXj^biYi- j=i i=i

Экономическое содержание неравенства определяет, что для всех допустимых планов X и Y общая стоимость не превышает суммарной стоимости ресурсов.

Достаточный признак оптимальности. Если для некоторых допустимых планов

X* =(х*,...х*) и Y* =(у[,...у_т) в двух двойственных задачах выполняется равенство z(X*) = F(Y*), то X* и Y* является оптимальным планом соответствующих задач.

Экономический смысл теоремы определяется в том, что план X* и вектор оценок ресурсов Y* являются оптимальными, если стоимость всей произведенной продукции и общая оценка ресурсов совпадают.

Принцип двойственности. Если первая двойственная задача имеет оптимальное решение, то и вторая также имеет оптимальное решение, при этом для оптимальных планов X* и Y* определяется равенство z(X*) = F(Y*). Если двойственная задача неразрешима по причине неограниченности главной функции на множестве допустимых планов, то система ограничений второй задачи различно.

Следствие {теорема существования оптимальных планов). Существование оптимального плана одной из двойственных задач необходимо и достаточно существования допустимого плана для обеих.

Экономическая интерпретация принципа двойственности состоит в том, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции равна суммарной оценке ресурсов, т.е. оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что гарантируют рентабельность оптимального плана (т.е. равенство общей оценки продукции и ресурсов) и обусловливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и

результаты решения.

Теорема о дополняющей нежесткости. Для оптимальности допустимых планов

X* =(х*,...х*) и Y* ={у\,...у_т) прямой и двойственной задач необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

п

если Yj ^aij^xj* ^<bi ’^то У*; ⁼°;

j=i

in

если ]£а_йу/<с^тоу'_;=0.

i=l

Экономически это означает: если по некоторому оптимальному плану X* производства расход i-ro ресурса строго меньше его запаса bj, то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого

$

ресурса равна нулю; (yi =0).Если же в некотором оптимальном плане оценок

$

его i-я компонента строго больше нуля (у; >0), то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса Ь; равен его запасу.

Вывод. При решении двойственных задач могут встретиться следующие случаи:

1. обе задачи разрешимы (имеют планы);

2. области допустимых решений обеих задач пустые;

3. одна задача имеет неограниченную область допустимых решений, а вторая - пустую.

Решая одну из пары симметричных двойственных задач, автоматически получаем решение другой. Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач и элементов z- строки последней симплексной таблицы. Для несимметричной пары двойственных задач решение также находится по последней симплексной таблице. В ней в строке оценок (z-строке) находят элементы, соответствующие переменным, которые входили в исходный базис, и прибавляют к ним соответствующие коэффициенты исходной целевой