17. Подгруппы. Первый критерий подгруппы.
Опред. Пусть дана группа <G;◦>, H<G, H≠Ø. Если H является группой относительно операции существующий в G, то в таком случае H-подгруппа группы в G. Обозначается H<G.
Критерий подгруппы1. <G;◦>- группа, H подгруппа G, H≠Ø. H<G тогда и только тогда, когда (для любых h1, h2 из Н h1-1◦h2 из Н)
Док-во:(2 курс)
Если H<G, то тогда для любых h1,h2 из Н, h1-1 из Н cледовательно h1-1◦h2 из Н.
Пусть для любых h1 , h2 из Н, h1-1◦h2 из Н
1)h2=h1 ,h1-1◦h1=e из Н
2)h2=e, h1-1◦e=h1-1 из Н
3)h1→h1-1, (h1-1)-1◦h2=h1◦h2 из Н
Показали Н замкнуто относительно определения. Ассоциативности в Н выполняется т.к. она выполняется в G.
18. Подгруппы. Второй критерий подгруппы.
Критерий подгруппы2. <G;◦>- группа, H подгруппа G, H≠Ø. H<G тогда и только тогда, когда для любых h1, h2 из Н h1◦h2-1 из Н
Док-во:(2 курс)
Если H<G, то тогда для любых h1,h2 из Н, h2-1 из Н cледовательно h2-1◦h1 из Н.
Пусть для любых h1 , h2 из Н, h2-1◦h1 из Н
1)h1=h2 ,h2-1◦h2=e из Н
2)h1=e, h2-1◦e=h2-1 из Н
3)h2→h2-1, (h2-1)-1◦h1=h2◦h1 из Н
Показали Н замкнуто относительно определения. Ассоциативности в Н выполняется т.к. она выполняется в G.
19. Подгруппы. Третий критерий подгруппы.
Критерий подгруппы3. <G;◦>- группа, H подгруппа G, H≠Ø. H<G тогда и только тогда, когда
1)для любых h1, h2 из Н h1◦h2 из Н
2)для любого h из H, h-1 из H
20. Отношение эквивалентности, задаваемое подгруппой на группе. Фактор-множество группы по подгруппе
Опред.
Пусть дана группа <G;◦> и H<G. Введем на G бинарное отношение(~н) определив g1~H g2 тогда и только тогда, когда g1-1◦g2 из Н.
Теорема. Бинарное отношение ~Н на G из определения является отношением эквивалентности.
Док-во: 1)Рефлексивность
Для любого х, х ϸ х, где ϸ=~Н, х=g из G
Для любого g, g~H g тогда и только тогда, когда для любого g, g-1◦g=e из Н.
2) Симметричность
Для любых х,у (х ϸ у) следует у ϸ х
Для любых g1, g2 g1~H g2 следует g2~H g1
g1~H g2 ↔ g1-1◦g2 из Н ↔│Н-группа│↔(g1-1◦g2)-1 из Н ↔g2-1◦g1-1 из Н ↔g2-1◦g1 из Н ↔g2~H g1
Транзитивность
Для любых x,y,z (x ϸ y и y ϸ z) следует х ϸ z
Для любых g1, g2, g3 g1~H g2 и g2~H g3 cледует g1~H g3 -?
g1~H g2 и g2~H g3 ↔g1-1◦g2 из Н↔g2-1◦g3 из Н→(т.к. Н<G)→(g1-1◦g2)◦(g2-1◦g3) из Н→ g1-1◦((g2◦g3-1)◦g3)=g1-1◦(e◦g3) из Н→g1-1◦g3 из Н→g1~H g3
©
Опред. Фактор-множество группы G относительно эквивалентности ~Н -- G/~Н-фактор-множество группы G по подгруппе Н.
21. Левые смежные классы элементов группы по подгруппе и классы эквивалентности.
ОПРЕД.:H<G, g G. Левый смежный класс элемента g – множество g◦H={g◦h|h H}
ТЕОРЕМА:
Левые смежные классы группы G
по подгруппе H
являются классами эквивалентности
относительно отношения ͂H
на G.
g◦H=
=[g]
͂H
Д-во:g1
[g]
͂H
(по определению)
g1
Hg
(по
симметричности) g
Hg1
(по
опред.) g-1◦g1
H
g-1◦g=h
h
H
g1=gh
h
H
g1
g◦H.
ОПРЕД.: Фактор-множество группы G относительно эквивалентности ͂H – G/ ͂H или G/H – фактор-множество группы G по подгруппе H.
Пример:
G=<
>,
H=4
={4k|k
}.
Найти: G/H
Решение:
0◦H=0+4
={0+4k|k
}=
1◦H=1+4
={1+4k|k
}=
2◦H=2+4
={2+4k|k
}=
3◦H=3+4
={3+4k|k
}=
/
͂4
={
,
,
,
}=(по
опред.)=G/4Z={0+4
,
1+4
,
2+4
,
3+4
}
ОПРЕД.:
Пусть
дана группа <G;◦>,
A
G,
A
,
=B
G,
тогда будем обозначать A◦B={a◦b|a
A,
b
B}
СВОЙСТВО: Левый смежный класс g◦H группы G по подгруппе H элемента g равен произведению многочленов {g}◦H в смысле предыдущего опред.