13. Алгебраически замкнутые поля. Алгеброич. Замык. Поля рац.Чисел

В обозначениях предыдущей леммы и теоремы K= P_F называют алгебраическим замыканием Р в поле F (min подгруппа F, которая содержит Р)

Т.к. Q R, Q_R – алгебраическое замыкание Q над R

Св-во 7.5 Q_R Q, но Q_R ≠ R, т.к. i Q , i Q_R , x²+1 алгебраич.замыкание Q_R и Q является алгебрач.расширением и не является конечным расширением. Q_R не является конечным расширением Q . n N p_n(x)=xⁿ-2 по признаку Эенштейна p_n(x)=xⁿ-2 неприводим, р=2

[Q( )]=n

Qⁿ ( ) Q_R и эл-ты 1, , …, -линейно независимы и Q_R в .

n N в Q_R n линейно независимых эл-тов над Q, это говорит о том, что [Q_R ]=n невозможно

Теорема. Q алгебраически замкнутое поле.

Док-во. Возьмем р(х)= а₀+а₁ х+…+а_n хⁿ Q[x], deg f(x)≥1, т к поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто, то z C, такой что z- корень р(х). эл-ты а₀,а₁,…,а_n Q, тогда по орпеделенію оні все алгебраически над Q, тогда Q (а₀,а₁,…,а_n )(z)- простое расширение Q (а₀,а₁,…,а_n ) с примитивным алгебраическим эл-том z,

[Q (а₀,а₁,…,а_n ,z): Q (а₀,а₁,…,а_n)]=m

[Q (а₀,а₁,…,а_n ): Q ]=k, тогда [Q (а₀,а₁,…,а_n ,z): Q ]=mk. Получили конечное расширение, значит его алгебраич.расширение Q, значит z алгебраич. эл-т над Q, значит z Q, значит Q-алгебраически замкнуто.

Следствие. Пусть P F, F - алгебраически замкнуто, тогда P_F - алгебраически замкнутое поле.

Док-во: в теореме заменить Q на P, C на F, Q на P_F .

Определение. Q- поле алгебраических чисел.

14. Группы. Определение, прим., с-ва.

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией ^о называется группой, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: (g₁ ^о g₂₎ ^о g_{3 =}g₁ ^о (g₂^о g₃₎;

2. наличие нейтрального элемента: e^og= g^oe= e;;

3. наличие обратного элемента: g^og^-1 =g^{-1 o}g=e

Обозн. <G; ^o> или G

Опр. Если в группе операция + (сумма или сложение) то группа называется аддитивной, нейтральный в ней-0, симметричный g^-1=-g и называется противоположным

Если в группе операция ^. (умножение или произведение) то группа называется мультипликативной, нейтральный в ней-1, симметричный g^-1=-g и называется обратным.

Опр. <G; ^o>, в которой для любых g₁, g₂: g₁ ^о g₂₌ g₂^о g₁ называется коммутативной или абелевой.

ПР. Явл-ся ли группой?

<N;+>НЕТ, нет нейтрального. <Z;+ >-да. . <С;^. >-нет обратного к 0. GL_n(P) =A Mat(n.n), detA≠1)- да.

Cв-во. Нейтральный в группе единственен

Док-во е₁ ^oе₂ =е и е₁ ^oе₂ =е значит е₁=е₂

Cв-во. Симметричный в группе единственен

Док-во. Пусть (g^-1)₁≠(g^-1)_2. Рассмотрим (g^-1)₁ o g o (g^-1)₂ =((g^-1)₁ o g) o (g^-1)₂ =e o (g^-1)₂ с другой стороны (g^-1)₁ o (g o (g^-1)₂)= (g^-1)₁ o e= (g^-1)₁ значит (g^-1)₁=(g^-1)_2. ?!

Cв-во. в любой группе e^-1 =e

Cв-во. (g^-1)^-1=g. Док-во. g^-1 o g= g o g^-1=e, значит (g^-1)^-1=g.

Cв-во. в любой группе (g₁ o g₂) ^-1= g₂ ^-1 o g ^-1_1.

Док-во. Нужно показать 1) (g₁ o g₂) o( g₂ ^-1 o g ^-1₁)=e2) ( g₁ ^-1 o g₂ ^-1) o (g₁ o g₂)=e.

Докажем 1) (g₁ o g₂) o( g₂ ^-1 o g ^-1₁)= g₁ o g₂ o g₂ ^-1 o g ^-1₁= g₁ o (g₂ o g₂ ^-1 )o g ^-1₁= =g₁ o e o g ^-1₁= (g₁ o e) o g ^-1₁= g₁ o g ^-1₁=e. Аналогично 2)

15. уравнение g₁ o х= g₂

Т-ма в группе для любых g₁ , g₂ уравнение g₁ o х= g₂ (1)имеет единственное решение : х= g₁ ^-1 o g₂

Док-во. Подставить (х) в (1) и показать, что решение ед-но:

g₁ o (g₁ ^-1 o g₂)= g_2,

₍g₁ o g₁ ^-1)o g₂= g_2.

еo g₂= g_2.

Единственность: пусть х₀ другой корень и

g₁ o х₀= g₂ –верно,

g₁ ^-1 o g₁ o х₀= g₁ ^-1 o g₂

(g₁ ^-1 o g₁₎ o х₀= g₁ ^-1 o g₂

е o х₀= g₁ ^-1 o g₂

х₀= g₁ ^-1 o g₂,значит

х₀=х

16. х o g₁ = g₂

Теорема 8.11 в группе для любых g₁ , g₂ уравнение х o g₁ = g₂(1) имеет единственное решение :

х= g₂ o g₁ ^-1.

Док-во Подставить (х) в (1) и показать, что решение ед-но:

(g₂ o g₁ ^-1) o g₁ = g_2,

g₂ o (g₁ ^-1o g₁)= g_2.

g₂o е = g_2.

Единственность: пусть х₀ другой корень и

х₀ o g₁ = g₂ –верно,

х₀ o g₁ o g₁ ^-1 = g₂ o g₁ ^-1

х₀ o (g₁ o g₁ ^-1 ) = g₂ o g₁ ^-1

х₀ o е = g₂ o g₁ ^-1

х₀= g₂ o g₁ ^-1 ,значит

х₀=х