Основные периоды развития математики. Множества. Операции сложения и умножения. Дополнение множества. Теоремы о дополнениях.
Основные периоды развития математики.
1.Период зарождения: 20 в. до нэ – 6в до не. Материальные источники 20в до нэ – Египет - папирусы, Вавилон - глиняные таблички, Индия, Китай. Период зарождения счета, вычисления площадей, простых объемов по шаблону. Наука сакрализована, отвечает на вопрос «как», преподаватели – жрецы. 6в до нэ: Др Греция. Первые математические док-ка. Преподают философы.
2.Математика постоянных величин 6 в до н.э – 16 в н.э. 6в до н.э – 6 в н.э- древнегреческая наука на эллинском языке. Евдокс. Пифагор
Евклид (ок. 365 — 300 до н. э.) — древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Архимед (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия — 212 до н.э., там же) — древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел.
7 в нэ-15в нэ – арабская математика. 16в – Эпоха Возрождения. Аккумуляция предудущих знаний, изобретение комплексных чисел, решение х3=0, х4=0; появление формул.
3.Математика переменных величин 17в – 70гг 19в. Изучается движение. (S(t)'=v. Интегральное и дифференциальное исчисление. Декарт – система координат, Ньютон – исследование законов движения, «Математические начала натуральной философии»; Лейбниц – философское рассмотрение математики, введение dx, du
4.Период современной математики: кон 19в- сегодня.
До 70гг 19в |
После 70гг 19в |
1)алгебра: решение уравнений 2)геометрия: Евклидова 3)мат анализ: производная, интеграл |
1) изучение алгебраический структур 2)геометрия Лобачевского, Римана 3) функцмональный анализ; топология. |
Функциональные структуры созданы группой французских математиков под псевдонимом Бурбаки (1939-1967 – издание математики в 33 томах - «Элементы»). Аксиоматическое построение математики на юазе теории множеств ( аналочичная система в «Началах» Евклида). Важнейшие структуры:порядка, алгебраические, топологические.
Множество – фундамент математики ( осознано в 19-20в, точное определение отсутствует, тк это первичнный элемент).
Множество обозначается большими буквами А,В,С; элементы -х,у,z. Запись A={1,2,3} читается «Мн-во А состоит из элементов 1,2,3; 1еА, 2еА, 3еА».
Мн-во А= мн-ву В, если они состоят из одних и тех же элементов, порядок которых не важен.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А явяется элементом В:
Свойства: Если А – подмножество В, то А+В=В; А*В=А. Пример: А={a,b,c,}; выписать все подмножества. {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c,},{Ø}.
Сумма множеств А и В – мн-во С, состоящее из элементов, которые принадлежат или множеству А, или В, или обоим множествам; логический смысл суммы мн-в - объединение мн-в; графически показывается затемнением обоих мн-в. Пример A={1,2,3} В={2,4,5,6} A+B={1,2,3,4,5,6}
С= А ∪ В, С = А+В
Свойства сложения: 1) коммутативность А+В=В+А 2) ассоциаптивность (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+А=А.
Произведение мн-в А и В - мн-во С, состоящее из тех элементов, которые принадлежат и А, и В; логический смысл – пересечение; графически показывается затемнением общий части мн-в. Пример Пример A={1,2,3} В={2,4,5,6} А*В={2}.
С= А ⋂ В, С=А*В
Свойства умножения: 1) коммутативность А*В=В*А 2) ассоциативность (А*В)*С=А*(В*С) 3)А*А=А
Теорема: для операций сложения и умножения справедлив дистрибутивный закон (правило раскрытия скобок) А*(В+С)=АВ+АС.
Док-во: 1) Пусть хеА*(В+С), тогда хеА и хеВ+С по определению произведения мн-в.
Если хеА и хеВ, тогда хеАВ. Если хеАи хеВ, тогда хеАС. Исходя из этого, хеАВ+ВС, чтд. 2) Пусть хеАВ+АС, тогда хеА*(В+С) по определению суммы мн-в. Если хеАВ, то хеА и хеВ. Если хеАС, то хеА и хеС. Исходя из этого хеА ( хеВ или хеС), что по определению суммы и произведения мн-в эквивалентно хеА и хе(В+С). Следовательно, хеА(В+С), чтд.
Мн-во U называется универсальным для системы мн-в А, В, С, если каждое множество системы является подмножеством U , т.е. А ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U
Свойства универсального множества:
1) А+U=U 2) A*U=A (здесь А – подмножество U) 3) А + Ā = U (Ā – дополнение подмножества) 4) А* Ā = Ø (произведение подмножества U и дополнения подмножества равно пустому множеству).
Дополнением мн-ва А называется множество, состоящее из тех элементов универсального множества, которые не входят в А ( х е Ā <=> х ¢ А)
Свойства дополнения: 1) Допонение дополнения равно самому подмножеству А (две чёрточки сверху) = А 2) А + Ā = U 3) А* Ā = Ø
Теорема: Дополнение суммы множеств А+В равно прозведению дополнений А+В (общая чёрточка сверху) = А*В (над каждой отдельная чёрточка)
Док-во 1) Пусть хеА+В, тогда х¢(А+В), тогда х¢А и х¢В, тогда хеА и хеВ, что по определению умножения мн-в эквивалент хе А*В, чтд 2) Пусть хеА*В, тогда хеА и хеВ, тогда х¢А и х¢В, тогда х¢(А+В), следовательно хеА+В
Теорема: Дополнение произведения подмножеств равно сумме дополнений этих подмножеств АВ (общая чёрточка сверху) = А+В (отдельная чёрточка сверху)
Док-во: 1) Пусть хеА*В, тогда х¢(А*В), тогда х¢А или х¢В, тогда хеА или хеВ, что по определению суммы мн-в эквивалентно хе(А+В), чтд 2) Пусть хе(А+В), тогда хеА или хеВ, тогда х¢А или х¢В, тогда х¢А*В , следовательно хеА*В, чтд