Свойства бесконечно малых функций:

- Алгебраическая сумма бесконечно малых при функций, является бесконечно малой функцией.

- Произведение конечного числа бесконечно малых при функций, является бесконечно малой функцией.

- Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в некоторой окрестности точки функции является бесконечно малой функцией.

Теорема: Если функция при имеет предел равный а, то ее можно представить в виде суммы числа а и некоторой бесконечно малой при функции , то .

11) Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех неравных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Функция y=f(x) называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное лицо , что для всех х удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Если , есть бесконечно малая при ( ) функция, то функция будет бесконечно большой при ( ) функцией (и обратно).

Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Опр. Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Теорема: Если есть бесконечно малая при , то функция будет бесконечно большой при функцией.

Обр. утв. Если функция бесконечно большая при , то будет бесконечно большой при функцией.

12) , , , , , и др.

Алгоритм устранения неопределенности основных функций:

, где и – целые рациональные функции и . В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разлагаем числитель и знаменатель дроби.

, где и – рациональные функции. В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия выносим за скобку в числителе и знаменателе дроби x с наибольшим показателем, среди всех слагаемых дроби.

, где или – иррациональная функция и . В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратного корня, на сопряженное иррациональное выражение, приводящее к разности квадратов.

13) Опр. Первым замечательным пределом называется , применяется при раскрытии неопределенности вида от выражений содержащих тригонометрические или обратные тригонометрические функции;

вторым замечательным пределом называется , применяется для раскрытия неопределенности вида от выражений содержащих степенно-показательную функцию.

14) Рассмотрим две бесконечно малые при функции и , если , где , то функции и , называются бесконечно малыми функциями одного порядка при .

Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, по сравнению с функцией при .

Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, по сравнению с функцией при .

Опр. Бесконечно малые при функции и , называются эквивалентными, бесконечно малыми при , если .

Если бесконечно малая при функция, то верны следующие эквивалентности:

Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых функций не измениться, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.