«Введение в математический анализ»

1) Опр. Числовой последовательностью называется отображение множества натуральных чисел n во множество

, элементами которого являются действительные числа.

Если все члены равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной.

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Основные характеристики числовых последовательностей:

Опр. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняться неравенство: .

Возрастающие (убывающие) числовые последовательности называются монотонными.

Опр. Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: ;

Если для числовой последовательности такого числа нет, то последовательность называется неограниченной.

2) Опр. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует такое натуральное число n, что для всех выполняется неравенство: .

Опр. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство .

Теорема: Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность бесконечно малая и обратно: если бесконечно малая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность бесконечно большая.

3) Опр. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех , выполняется неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается: .

Из определения числовой последовательности следует, что постоянная последовательность имеет предел равный , а бесконечно малая последовательность, предел равный 0.

Теорема (условие существования предела последовательности): если числовая последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет предел.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящаяся, не имеющая предел, расходящаяся.

Очевидно, что бесконечно большая последовательность не имеет предела в том смысле, как этот предел был определен. Однако считают, что бесконечно большая последовательность имеет предел равный : .

Если при этом, начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут: .

Во всех этих случаях говорят, что последовательность имеет бесконечный предел, в связи с этим, первоначально определенный предел последовательности называют конечным пределом.